Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
+ cos а, a так как Om = (sin и -J- cos а) / 2, то 71Al — сторона квадрата, диагональ которого равна От. 112. 1,01 радиан.
ИЗ. 1°. Если A = 2C1 то B = тс — ЗС; значит, —^ = * = =
sin 2С sin ЗС sin С
Ь + с
Ь + с
sin ЗС + sin С 2 sin 2С cos С'
отсюда
(Ь + с)с
___Ф + с)
sin2 2С 2 sin 2С sin С cos С sin2 2С '
47 П. С. Моденов
738
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
значит, а2 = с (b -f с). Далее, sin В = sin ЗС = sin С (3 — 4 sin2 С), отсюда
6 = с(3 — 4 sin2 С) = с (1 + 2 cos Л) = 4с cos (30° + cos ^30° _. Далее, если
a2 = (b + С) с, то sin2 А = (sin В + sin С) sin С = sin (А + С) sin С + sin2 С, откуда 2 (sin2 Л — sin2 С) = cos 2С — cos 2А = 2 sin (Л + С) sin (А — С) = 2 sin (Л + С) sin С. И так как sin (А-\-С)Ф 0, то sin (Л — С) = sin С; отсюда Л — C=C, значит, Л = 2С. Далее, из данного равенства а2 = (b -f с) с находим б2 + с2 — 2#с cos Л = be -f- с2;
значит, b = с (1 + 2 cos Л). Пусть, наконец, # = 4с cos (з0° + cos (з0° — ,
или 6 = с(1 +2 cos Л); тогда sin В = sin C(I +2 cos Л), sin (Л + С) = sin С + + 2 sin С cos Л, sin (Л — С) = sin С, Л = 2С. Из соотношения b = с (1 -f- 2 cos Л) находим #2 = #с + 26с cos Л; но д2 _ #2 _|_ с2 — 2^c cos Л; значит, а2 = be -f- с2 = (6 -f- с) с. Прямоугольный или равнобедренный треугольник, для которого А = 2С. Если треугольник ЛВС прямоугольный,
то С — не прямой угол (ибо Л = 2С). Если А = ~, то
? = C = ^;
построение треугольника - не вызывает за-
труднений. Если же В = у, то С = —, Л = — построение такого треугольника с помощью циркуля и линейки также просто. Если треугольник ABC равнобедренный,
то Л Ф С (ибо Л = 2С). Положим B = C, тогда С = ~,
Черт. 302.
Л = -
чаю.
в-т>
и мы приходим к предыдущему слу-
2тс
A = B-.
В этом
Если же A = B, то С = - , — ~ —е
о о
случае (а = #) основание с треугольника есть положительный корень уравнения с2 _|_ ас — #2 -= о. Этот корень строится так: строим окружность на отрезке MN = а как на диаметре. В точке M проводим касательную к этой окружности и на ней откладываем отрезок MT = а; точку T соединим с центром О окружности (черт. 302). Пусть отрезок ОТ пересечет окружность в точке Р. Тогда с = PT. Зная с vi а, можно построить соответствующий равнобедренный треугольник (основание с, две других стороны равны а).
2°. а) Длина биссектрисы внутреннего угла Л. пл. AABD А- пл. ДЛС/) =
1 Л 1 Л = пл. Д ЛВС, -тг Ic sin -н- + Tj lb sin =
1
be sin Л, где / — длина биссек-
трисы AD. Отсюда находим /, а заменяя
sin В sin С и а
b и с соответственно на а / =
получим
sin Л я sin В sin С
' sin Л
sin -рг (sin В + sin С)
б) В частности, 3 — Ig2C
За —4/
если Л = 2С, то следовательно, tg2C =
; отсюда найдем С (С — острый угол, ибо Л =
Черт. 303. : 2С); зная С, найдем Л = 2С
и В = тс — ЗС. Заметим, что угол С должен быть заключен между 0 и
ибо
В = ъ — ЗС. Это будет так, если tg С < 1^3, а это, в свою очередь, будет так, если 0 < ^а — < 3. По условию ^а ^ < 3 имеет место при любых а > 0 и
/> 0; значит, остается единственное условие
За —41 а
> 0, т. е.
, 3 К ja.
в) Геометрическое построение. Если Л = 2С, то ? CAD = С; треугольник ЛСД следовательно, равнобедренный с вершиной D и, следовательно, DC = L Отложим на прямой отрезок ВС = а и возьмем на ней точку D такую, что CD = I; D — основание биссектрисы внутреннего угла А. Основание D' биссектрисы внешнего угла Л легко построить (ибо BD: DC = BD'; D'С). Таким образом.
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
739
вершина Л есть точка пересечения окружности с диаметром DD' с окружностью с центром D и радиусом DC = /. Если эти две окружности пересекутся, то получим два решения, симметрично расположенные относительно ВС (черт. 303). Если
/ <у, то С лежит внутри отрезка DD' и две указанные окружности, очевидно,
пересекаются. Предположим теперь, что / > у. Угол А существует, если / < DD'.
, D'В DB a —i D'В D'C
Так как BD = а — 1 и DC = U то == -qq = ——, откуда у = —у— =
а г^/о a (a —1) , . л(л—-/) 21 (a —1)
2Ua-I) i (За —41) л я , Зл „
/ < -тЛ--, или —-- > 0, а так как / > , то / < --г-. Следовательно,
/ ^ Зл
единственное условие существования решения / < -j-.
114. Г. Вычисление б и с. Данное соотношение в силу В-\-С = % — А cos А 2 sin А приводится к виду —4-=sinBsinC> или
sin В sin С cos А = 2 sin2 А. (1)
Отсюда
6с cos А = 2а2; (2)
но а2 = б2 + с2 — 26с cos -4; значит, а2 = б2 + с2 —- 4а2, или
5л2 = б2 + с2. (3)
Из соотношений (2) и (3) можно найти бис:
(6 + с)2 = 62 + с2 + 26с==5л2+J^l, 6 + с = л|/~5-
cos А*
(6 — с)* = Ь* + с* — 2Ъс = Ьа2 — 6 — с = я 1/ 5--(6>с);
v ' 1 cos -4 г cos Л v ^ '
следовательно,
_ Sl (лГ^ cos ^ + 4 Г 5 cos Л— 4\ л f ГЪ cos Л -f- 4 /"5 cos Л
"~2"\К cos Л "1T cosA J9 C~~2\V cosA V cos Л /'
