Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Выражение у = A'E в функции t
2at /1Ч
А
4°. Выражение г в функции у. Воспользовавшись формулой г = (р— a) tg у
/1ч - V"3 у(2у — д) л а
и соотношением (1), найдем г = ¦+^- •7^ <^ , максимум г будет при у = -g-,
при этом^ = J-—, у = 30°, 0 = 60°.
105. Г. Построение треугольника ABC9 если задана точка D. Геометрическое место точек А есть эллипс с фокусами В и С; большая ось его равна 10. Биссектриса угла ВАС есть нормаль в точке А к эллипсу. Зная ее основание Д можно построить точку Е, в которой касательная к эллипсу в точке А пересекает ВС: эта'точка гармонически сопряжена с D относительно В и С. Построение точки А сводится, таким образом, к проведению касательной из точки E к эллипсу, что может быть выполнено, например, при помощи аффиннитета. Условие же возможности решения состоит в том, чтобы расстояние от точки E до центра эллипса
OB2 9 9
было не менее большей полуоси, т. е. OE>5, -щ^ >5, у-^-у > 5, |х |<;-g-.
2°. Соотношение между углами предлагается вывести читателю самостоятельно. 3°. Значения AB и АС. АВ = ~ (3 + х), ЛС =-|(3--х).
л ?7Ъ л 25*2 + 63 -7>, 12
Значения cos А и cos BAD: cos А =-!-, cos BAD =
25 (9 — X2)
Величины проекций AB и AC на AD: AB' = 41/ x , AC — . v _—
f о — X г о + X
Пусть T — точка прикосновения касательной, проведенной из точки А к окружности, построенной на В'С' как на диаметре. Тогда AT2 = AB' • AC = 16, AT = 4. Вычисление tg Пусть / — центр окружности с диаметром В'С\ тогда
. плт *„,лт 1Т 17 В'С AB'-АС 1 / ,/"3 + 7 _/"3=^\
ig?>лт = tg/лТ = -^- = — = — =-g-= -{у з^-|/ з~).
... Минимум для угла ЛлТ—число нуль в том случае, когда треугольник ABC равнобедренный (BA = С А).
106. Г. Предоставляется доказать читателю.
2°. На основании Г имеем sin 2л"+sin 2?+sin 2С = 2, или sin A sin ? sin С = у.
Пусть угол А задан. Остается решить систему sin В sin С = * , Б + С = ти — А.
- z sin J\
Из первого уравнения cos (В — С) — cos (В + С) = sjJ ^ , следовательно,
cos (В —С) = --cos Л; треугольник ЛВС существует, если 0 < | В — С | <
< ? + С или 1 > cos (В — С)> cos (Б + С), т. е. 1 > —--cos А > — cos А.
sin Л
Второе неравенство, наверное, выполнено, так как sin Л > 0. Полагая tg — = t,
1+^2 I _ (2
перепишем первое неравенство так: 1 > —~--, ; так как t > 0, то оно экви-
Zf 1 + f ^
валентно следующему: t* + 2^2 — 4* + 1 < 0 или (t — 1) (^ + t2 + 3* — 1) < 0. Функция tz + t2 + 3^ — 1 всегда возрастает и, значит, имеет лишь один корень F (между 0 и 1; более точно 0,29 < Ї < 0,30). Значит, предыдущее неравенство будет выполнено, если Ґ <t <\% т. е. 2 arc tg t' < А < ~ , где Ґ — действительный корень уравнения t3 + t2 + 3^ — 1 = 0; треугольники, удовлетворяющие условию задачи, существуют.
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
735
107. Г. AbBc-BcCaCaAb = AcBa-BaCb-CbAc. Заметим прежде всего, что точка / лежит внутри треугольника ABC и что лучи, соединяющие эту точку / с вершинами треугольников АьВсСа, АсВаСъ и ABC, образуют во всех случаях
тс ABC
шесть острых углов, попарно равных дополнениям до у углов у, 2 9 "2 * напРимеР С
1_ 1ААЬ = у и т. д. Обозначим через г радиус окружности, вписанной в треуголь-
ABC С
ник ABC. Тогда IA sin у = IB sin у = IC sin у = л Мы имеем: 1АЬ = /Л sin у =
С .5 А
sl? 2" " 5 81П 2" Л Sln 2" Л -j-, /Л^ = /Лзіпу = г--^-, IB0 = IBs\xx~ = r-~-, /С* ==/С stay ==
sin у sin j sin 2"
, Л .C
2 /Л /В Sin 2 ^r-— t 0ТСЮда _A =-^. =-g-; следовательно, треугольники /Л^В^ и
sin 2* sin 2
перестановкой 'букв получаем: ^ '
, с
sin 2
; значит,
AbBc _
, C sinI
sln2 , С sin2
AA
, A s,n 2
sin I CaAb
. ? ' sin 2
sln^
BaCb
. Круговой
sin TT
Л^В, 2 B„C„ 2 СЛЛА 2
Ь*с cln*> olrt^_ sln4 "
AhBf. BpCfJ С л Ah -
Перемножая, получим " / ¦ .6 " » р" = 1. * J CbAc АсВа BaCb
2°. Пл. Д AbBcCa + пл. Д AcBaCb = ~ пл. Д ЛВС. На основании предыду
. С . Л .В Л
j sin 2" sin 2" Л 1 БШ 2 2
щего пл. Д IAbBc = ^r-j • г —g~ cos у и пл. Д /Л<,СА = у г —j- г —X
sin у sin -7J- sin Tj sin ~
. С Л В Л
j sin у cos "2 1 sin у COS у
XcOS7J1 или пл. Д IAhB0 = г2-g--, пл. Д /Л^ = у г2--',
sin у sin у
Л В
1 sin у cos "2
производя круговую перестановку, получим: пл. Д IB0Cа = у г2-^-,
SiHy
CB .ВС
j sin у cos 2" і sin у COS у
пл. Д /B0 Лс = у г2---А-, пл. Д ICaAb = -2'*2-^-, пл. Д 1СъВа =
sin у sin у
. Л С 1 sin у COS у
= уг2-2j-.Складывая, получим:
SiHy
/ . В C11C В
j / Sin у COS у + Sitt у COS у
пл. Д ЛАВсСа + пл. Д А0ВаСь = у г21---+
V sin2
.с л,, л с л в,, в л
Sin у COS у -j- Sin у COS у Sin у COS у + Sin у COS у
_]--5--1--
.В 1 .С
