Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
si2 .тс р
но г = — == — , rx= pig — = , /Z1 =
р р 6 Уз
Л'Л,
2Л'Л,
Цр — ВА')
cos-L УЗ УЗ
о
, но так
как BA' равно — = —--
то
2 / /2УЗ\
2 (р» — /2 у з)
рУз
I2 , /> ^ 2 (р2 — /2 У 3) п ^ р2
и, значит,--—тг— <——-—--, или /2<—— то же, что и выше.
р УЗ рУ 3 зуз
103. 1°. Окружность (О) получается из (со) гомотетией ^Л, ^j. В этой гомотетии точка / переходит в Д значит, касательная в точке D к (О) параллельна ВС и т. д.
Далее, после того как будет получено соотношение AD = 2BD, заметить, что
AB 0 „ BI AB AC AB 0 ЛС + ЛІЗ 0
тогда и ж = 2. Но ^ = ж , значит, _ = _ = 2 и, значит, -757^7^" = 2,
т. е. b -\-с = 2а.
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
733
2°. Считая ? !> С, находим:
R * А
+ arc cos ^2 sin , С = ~ — ~- — arc cos ^2 sin —-^.
Условие возможности: а<^-, ?>0 (это условие выполнено), С>0 — приво-
о
дится к виду 2 sin у > sin ~ , что верно. Итак, единственное условие: <х<;^-.
3°. Проведем через точку оз и через середину Ax отрезка PA прямые, параллельные основаниям трапеции; первая прямая есть со/; пусть Hx — точка, в которой
/ач т л T-T АН+ом : AxHx+OM вторая пересекает (А). Тогда AxHx =-g-, со/ = ——Ц|-, откуда
АН = 4со/ — ЗОЛ! = 3R (1 — cos А) и, значит, s = SR2 sin Л (1 — cos Л); s возрастает
на сегменте ?о, -^-j.
4°. Окружность (y) в инверсии (О, R2) переходит в прямую (А), а так как эта последняя касается все время окружности (со), то окружность (y) касается окружности (о/), полученной из (со) инверсией (О, R2); пусть (А) пересекает АО в точке G; окружность (со') — это окружность с центром о, проходящая через Л. Окружность (у) проходит через фиксированную точку О и касается постоянно окружности (а/); значит, центр К окружности (y) расположен на эллипсе с фокусом О, для которого окружность (со') есть направляющая окружность, относящаяся к другому фокусу; полупрямая OK перпендикулярна (А); она может, вращаясь вокруг О, принимать все возможные направления; значит, К описывает указанный эллипс целиком. Точка P (см. условие) расположена на перпендикуляре OM (M на ВС), опущенном из О на (А), и такова, что OP • OM = R2; значит, точка P получается из M инверсией (О, R2) и, значит, точка P — диаметрально противоположна точке О окружности (у). Геометрическое место точек P есть, следовательно, эллипс, полученный из эллипса (К) гомотетией (О, 2); фокусами этого эллипса служат точки О и E [E — диаметрально противоположна точке Л на окружности (О)]; окружность (со') для этого эллипса является главной. Наконец, точка / есть точка прикосновения (А) и (со); ее образ /' в инверсии (Oy R2) есть точка касания (со') и (у). Так как OI • О Г = R2y то Г — основание поляры точки / относительно (О); эта поляра перпендикулярна OI и проходит через /'; значит, это прямая Г Р. Точка /' является проекцией на эту прямую фокуса О эллипса (P), и она (точка Г) расположена на главной окружности эллипса (P), поэтому РГ — касательная к эллипсу (P) в точке Я.
104. Симметрия фигуры относительно Oz. Г. Дуги AA'BB'', CC равны
между собой (каждая из них равна 0); значит, дуги A'B1 В'С и CA также равны между собой (каждая из них равна 120° — 0); отсюда и из того, что точки А и А' симметричны относительно диаметра Oz следует, что точки BwC симметричны относительно Oz, точки В' и С симметричны относительно Oz. Прямые, на которых лежат стороны треугольника A'EF, на основании предыдущего, симметричны относительно Oz прямым, на которых лежат стороны треугольника AED; эти треугольники, значит, сами симметричны относительно Oz, а потому равны между собой.
2°. Периметр треугольника A'EF. Прямые AB и А'С симметричны относительно оси Oz; точка Е, в которой они пересекаются, лежит на оси Oz> значит, A'E= AE. С другой стороны, ? A'BF = /, BA'F, значит, AF = FB. Отсюда следует, что периметр треугольника A'EF ргцзен AE+ EF + FB = AB = а.
Углы и стороны того же треугольника. Углы F, А' и ? треугольника FA'E
равны Є, 60*, 1800-(9 + 60*). Далее, ^| = - «L e ^ =
A'E+EF+FA' я/г^ 2а sin 6
— отсюда A'E = -
sin Є + sin 60° + sin (6 + 60°) ' ^~ла 3 sin 0 + /3 (1 + cos 0) '
Ef==_a Y"3_ = 2a sin (0 + 60°)
3 sin O + Уз (1 + cos Є) ' ~~ 3sin 0 + УЗ(1+ cos 0) '
3°. Определение 0 из условия FE= , где m > 0. Для того чтобы это
условие было выполнено^необходимо и достаточно, чтобы 3 sin б+УЗ(1 + cos 6) = Zm или sin (0+30°) = Ш ^ 2 ~" 1 • Так как 0 изменяется от 0 до 120°, то 0+30° изменяется от 30° до 150°, a sin (0 + 30°) принимает все значения между -і- и 1 по два
734 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
раза. Значит, мы получим для 0 + 30°, следовательно, и для 0 два значения, если
1 ^ т/З —1 2^^3 п
—:-или __ ,^; т ^ . Полученные при этом значения для
2 2 /З V3
0 + 30° будут дополнительными, а соответствующие значения для 0-дадут в сумме 120° (что ясно и геометрически).
