Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
или 7j- + a= -д--а + KTi, или а = —+ # у. Среди всех этих углов есть лишь
два: a,= —и а2 = ~ t заключенные между — ~ и "» при этих значениях а прямые (D) и (А) будут параллельны. Для того чтобы прямые (D) и (А) были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы (х'х, D) = (х'х, А) + ™ + ?тс, или тс . Зтс тс Зтс , ?тс
_ а = --а + -g- + #^, откуда а = -g- + среди этих углов есть только
тс Зтс TC TC
два: ад = —~ и а4 = — , заключенные между — у и у; при этих значениях а прямые (D) и (А) будут перпендикулярны.
Ответы. § 3. ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
731
90°-
а' = —/ =
100. 1°. а) а' = а cos Л, b' = b cos В, с' = с cos С;
б) д' = — a cos Л, bf = b cos 5, с' = с cos С;
а) Л' = 180°— 2Л, В' = 180° —25, С = 180° —2С;
б) Л' = 2Л — 180°, В' = 25, С = 2С.
2°. а) В этом случае cos Л, cos В, cos С положительны, значит, все углы Л, .3, С острые. На основании 1° имеем а! = /, b' = т, с' = п. Зная стороны треугольника Л'В'С, найдем его углы, а углы Л, 5, С затем определим по формулам:
A' R' С
B = 90Q-~t с = 90P-^-.
?) Если / < 0, то cos Л < 0, Л — тупой угол, В и С— острые. В этом случае ' I, Ь' = /и, с' = п. Зная стороны я', Ь\ с' треугольника А'В'С, найдем
А' В' С
его углы; однако теперь Л = 90° -f- -у-, В = -у, С = у—.
3°. Свойство полного четырехсторонника.
4°. а) / > 0, т > 0, я > 0. В этом случае все углы треугольника ABC острые, а его высоты — внутренние биссектрисы углов треугольника А'В'С'\ значит, в этом случае строим треугольник А'В'С (В'С = /, Ca = т, А'В' = л), проводим биссектрисы внутренних его углов, затем через каждую из точек Л', В', С проводим прямую, перпендикулярную той биссектрисе, которая выходит из соответствующей вершины.
?) / < 0, м > 0, п > 0. В этом случае А — тупой угол и три его высоты суть соответственно — биссектриса внутреннего угла А' и биссектрисы внешних углов В' и С, значит, построение таково: строим треугольник А'В'С [В'С = | /1, CA' = т, А'В' = п], затем строим биссектрису внутреннего угла Л' и биссектрисы внешних углов В' и Су а затем к каждой из них через соответствующую точку Л', В' или С проводим перпендикуляр. В пересечении этих перпендикуляров и получаем треугольник ABC
101. Г. Длина отрезков AD и AEx
AD =
2Ьс Ь + с
А_ 2
AE =
2Ьс
sin
sin В -f- sin С
2°. Соотношение между Я и Cf если 4Z) = Л?. В этом случае из Г
b — с А „ ^ 6 — с sin В — sin С
-——. — tg с другой стороны, в любом треугольнике -г-^Г(
, Л , В — С п п тс
= tg-if tg —2-; значит» В~~С===~2'
3°. Изучение свойств треуголь-
ника, у которого В — С = — .
а) Пусть В —С
Угол Л?Я-
внешний угол треугольника ADC; значит,
он равен C-
А_ 2
Но так как В — C = -<
и Л
+ В + С = к, то C + T = j.
2 Зна-
Черт. 298.
чит, Д EAD равнобедренный и прямоугольный, значит, AD = AE (доказано положение, обратное 2°).
б) Пусть (черт. 298) ABC — треугольник, в котором В — С = у. Построим
внутри угла В угол CBI, равный С, тогда Bf ± BA. Пусть (Г)—окружность, описанная вокруг треугольника ABC Опустим из точки Л перпендикуляр ЛЯ на ВС Углы //Л? и /ВС равны как углы с перпендикулярными сторонами, значит, ? HAB = /_ ВС А; отсюда и следует, что АН касается окружности (Г) в точке Л.
в) На основании только что доказанного ОЛ[|?С, где О — центр окружности (Г); с другой стороны, ^ ABI = 90°, значит, точка А\ в которой продолжение BI пересекает (Г), диаметрально противоположна точке А. Для любого треугольника ABC имеем: ЛС2 — AB2 = 2BC- HM = 2BC- AO (M-середина ВС) или Ь2 — с2 = 2aR, но 4Я2 = b2 + c2 (A'В = ЛС), значит, b2 — c2 = a Yb2 + с2-
732 Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
102. 1°
а __ Ь _ с___а 4- Ь + с_>
sin Л *~ sin В ~ sin С ~~ sin А + sin В + sin С '
/3 00,(J-I)' "2с„,(| + ї)со,(|-|)
У 3(
условие существования треугольника <р <
1
Единственное
P2 + sV~3
2°, Вычисляя s по формуле s -я-ас sin В, найдем cos о =— -т=-;
"2 т 2(р2 — 5/3)
угол у должен быть заключен между 0 и у; значит, его косинус заключен между
р2.+s V 3
2 2(р2 —$Уз)
-Z=T- < 1; отсюда прежде
1 і 1
— и 1, — <
2
всего р2 > 5 У 3; если это выполнено, то должно быть р2 — s Y 3 < р2 + $У 3 < 2 (р2 — s УЗ). Первое неравенство всегда выполнено. Второе P2
дает s< , что включает в себя условие
_ЗУ 3
р2 > sУЗ, указанное выше. Итак, единственное
^ P2 условие S < гг_ .
зУз
3°. Условие, при котором треугольник прямоугольный. Прямым углом должен быть,
конечно, угол С
(Vl-1)2
Это дает 9 = -g- и т. д.
s=p2
2УЗ
4°. Построение треугольника ABC9 если Черт. 299. известны 2р и /. В искомом треугольнике
B = L. и А < С. Строим угол L-; на его сторонах откладываем отрезки BA1 = р и BCx = р. Строим окружность, касающуюся сторон угла В в точках A1 и C1—это будет окружность, вневписанная в угол В для искомого треугольника ABC (черт. 299). Пусть окружность (/), вписанная в искомый треугольник ABC1 касается его сторон ВС и BA в точках А' и С, тогда BA' = р—Ь, а если t1-радиус окружности, вневписанной в угол Ву то (р — b)rx = I2. Это позволяет определить р — by значит, и точки А' и С', значит, и построить окружность (/), вписанную в треугольник ABC Остается провести внутреннюю общую касательную к окружностям (Z1) и (/) — ту, которая даст Л<?. Исследование. Возможность проведения внутренней касательной г + rx <! /Z1,
