Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
= Ж« + 1+2« с05Л_ 181. 2(*' + ^ю(1 + тУ- 182.Г = 2Я(Я_1)81ПГ^.
m2 + 1 — 2m cos Л 4m| — a2 1 + m2 '2
183. 16/w#2sin4y -f 4iR[r(l + m)2 —4/?m]sin2y + г2(1-ї-/я)2=0. 184. 16/?2 sin4 ^— — 16A (A — r) sin2 у + ^2 = 0. 185. \№ sin4 у — 4 (# + rfl) R sin2 у + ^2+4r^-0. 186. Угол В определяется уравнением ¦^y) sin2 B -f (^ra — 2R cos2 у )2 = = 4/?2 cos2 у. 187. (ro+r) a = (ra-r)k, (ra + r) (b—c) = У /г2 (ra-r)2-4rr? (ra-\r)2
Ответы. § 2. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
729
ит. д. 188. a=*V4rra + k*t (ra-r)(b +c) = (ra+r)V4rra + k2. 189. (re + r)sk>y =
^-Осоваит.д. 190. tg4-^rar*~r(r" + 4 tg4=^^=^^,
-ь г« 2 гь *
tg f = У V.-^.+ г.) • I91' 2 ^ + Г) C0S2 T - *' (Г- - Г) C°S ^ =
193.
= /Vb [(ra-rc)2 + ?2], с2 = k2 + 2ab - 4rarb. 195. Указание: (ra — cos ?
- (гл + rb) sin Л. 193. 2 sin* у = T^7T-, (ra + r^sm = (ra - rb) cos . 197. p2 — Rha(\ + cos ,4) = 2/7/?sin A 198. cos2 4 = ^ЛЛ^ ¦ 199. 4/?2cos2 Л —
— Ша cos Л + ft2 — 4«2 = 0. 200. p {cos k — sin ¦^¦) - ha cos у. 201. tg = = |- -1^-, cos = (-? + cos A. 202. 2/? (p - c) sin A + Rha cos A -
B-C 5ctgT+p2 Л = q2 -j- Rha, a = 2R sin A. 203. cos —=— =--=— sin -?r> УГ0Л ^ опреде-
P2-sctg-f 2
ляется из уравнения pk tg2 —- —^tg — 4.5 = 0. 204. tg у =-^^—^y- и
ac cosec В = k — hc cosec с и т. д. 205. (&2 -f #2 — 2hcq) cos2, у = ?', cosec В =
Л —В
, , ^ on- f А — В k(hc — 2r) С rC0S 2
= cosec с. 20э. tg—^-= 2^4-г) И 8ІПТ = Ag-г *
207. (hc + rc)(4rc-k)cos2~ ==krc. 203. 2,(/у+А,) /ю cos ? = (лі+1)
л™ ~ А2(2/> + Ас)2 , .С . (hc + Гс)2 . ,С 209. Угол С определяется из уравнения —^—* 1 -sin4--с sin2— = 1.
4r^cos2-| 2 ^ 2
210. sin s = V —irr ¦ 2И- C = 45°. 212- 90°- 2J3. arccos
_ n_
_ ' ~ w" і """"" И*
214. sin Л = ]/"~ . 215. 132° и 12°. 216. ~. 217. Л = 30°, В = arc sin ~. 218. 72°. 219. 84°. 220. C = 90°. 221. Л = 70°, ? = 85°. 222. Л = 36°. 223. sin (В —C) = —^- , tg Л = 1 или tg Л = . 224. ~ . 225. Л = 40°,
С = 30°. 226. 60°. 227. ~. 228. B = C = 36°. 229. -^-. 230. A = B = C = 60°. 231. /"3—1. 232. 18°. 233. 90°. 234. 45°. 235. 90° и 30°. 235. 60°, 73°. 237. 36°. 241. 60°. 242. 144°. 243. С = 90°, В=2 arc tg і . 244. Л = 2 arc tg 1, В — С = 2 arc tg 1. 245. -|.
246. 1.247. 1. 248. a = 3yb = ^tc = jg. 249. а = 3, с =6. 250. 1. 251. 10. 252. а = 5,
6 = 3 "^41 , с = 1^2""3 . 253. b = 4, с = 3. 254. 2 / 3. 255. Одно из решений:
? = 1,6 = 2. 256./2. 257. я = 3, две другие стороны ¦5-(з ]/"-| ± |/" -у).
730
Ответы. Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
2
_ 4
5"
258. 6 = 2, с = 3. 259. 2. 260. а = 2, 6 = 2 ± ]/~-| . 261. а = 2, 6 = 3 ± ]/~-|- .
262. а = 2, 6 = с = /2~, A = 90°. 263. а = 8 /3, 6 = 16, с = 8. 264. 2/2. 265. 4 и 3. 266. а = 4, 6 = /іО + б/2~ + "іЛо —б/2. 267. /ЗД; 2; 3. 268. /53; 3; 4. 269. 4. 270.0 = 2, 6 = 4, с = 3. 271.а = 6, Ь — с = /23, Л = 90°. 272.1. 273.5. 274. J = /Т9, 6 = 2, с = 3. 275. а = /7", 6 = 3, с = 2. 276. -тр*277. а = 5, 6 = 6, с = 7. 278. 6 = 5, с = 3, Б = 90°. 279. а = 6 = с = 2 /б. 280. 2/? = 6. 281. а = 6 = = с = 2. 282. а = 2, 6 = 2±]/Г |-,с = 2 + -| . 283. 3. 284. А = 60°, С = 30°, с = 2, . = 4, „ = 2YS. 285. Л « 60", „ = ^ , * = У^±?П , с = ^|УЦ . 286. Л = 60°, а = ^Х~~. 287. а = 1, 6 = 3,25; с = 3,75. 288. а = 3, 6 = 3,5 ± /065; с = 3,5 +/065. 289. а = 5, 6 = 4, с = 3. 290. 6 = 11, с = 13. 291. 6 = 3+1/П. 292. а = 5, 6 = 4, с = 3. 293. а = 9, 6 = 8, с = 7. 294. 1. 295. 14. 296. 3. 297.
298, 6 = 2/4^7 + ^, b — c = 1. 299. я = 6 = с = 1. 300. 3; 4; 5. 301. Л = 90°;
6 = 4 ± /2, с = 4 + /2", я = 6. 302. а = 3, 6 = 4, с = 5. 303. а = 6 = 15, с = 24. 304. а = 7, 6 = 25, с = 24. 305. 3; 4; 5. 306. а = 5, 6 = 12, с = 13. 307. а = 95, 6 = 76,
с = 57. 308. а = -^ , 6 = , с = 2. 309. а = 5, 6 = 4, с = 3. 310. я = 55 ^,
6 = 34-^-, с = 54. 311. а = 2, 6 = 3, с = 4. 312. а = 6 = с = 2. 313. а = 5, 6 = 4, с = 6. 314. а = 25, 6 = 20, с = 15. 315. а = 13, 6 = 12, с = 5. 316. а = 64, 6 = 40±/ЇШ5, с = 40 + /ТОЇ5. 317. я = -*-, 6 = 1 ± ^J-, с = |. + і^..
318. а = 16, 6 = 14, с = 6. 319. а = 40, 6 = 13, с = 37. 320. а = ~|, 6 = 2-- , с = 4. 321. а = 5, 6 = 3, с = 4. 322. а = 6, 6 = 7, с = 8. 323. а = 7,_6 = 6, с = 5. 324. а = 8, 6 = с = 5. 325. а = 3, 6 = ^-+-^/41. 326. а = -^2-, Л = 60°.
527. Л = 90°, а = -у-, 6 = ~- ± -?^-. 328.6 = 17, с = 8. 329.6 = 5, с = 3. 330. а = 2, 6 = 1, с = / 3, Л = 90°, Л = 30°.
§ 3. Задачи по планиметрии с применением тригонометрии
П. 1. Треугольник
_2д6с5_ ab (а2 + б2)
1Z (а + 6)(6 + с)(с + я)* * (я + 6)2
99. Г. Значения а, при которых (D) || (А). Имеем (Д /)) = (Д /у) + + (/у, D) = у + ос (mod тс), (х'х, Д) = (х1х, AB) + (ЛЯ, А) = ^ — а (mod тс). Для того чтобы (D)II(A), необходимо и достаточно, чтобы (х'х, D) = (х'х, А) + Ы,
71 і Зтс . , г. TC
