Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
и DCi пересекаются
PC1 EP ИМеем ш =-^ =
PB1
DB s
в точке Е,
Аналогично
лежащей на PA1 _
AB,
DA
L = Ji . Трехгранные углы D (ABC) и P (^1B1Cj)
равны (ребра соответственно параллельны), поэтому их объемы относятся как произведения сторон
PAx PB1-PC1
сфу
Объем Vx будет макси-
Черт. 263.
V DA DB- DC s3
мальным, если a?y будет максимально, а так как а 3 -f- у = const, то a?y будет максимально при условии a — ? == у; в этом случае точка P совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC
21. Г. Грани тетраэдра ABMN. AB ± (D) и AB ± (А); значит, грани ABM и ABN прямоугольные треугольники (прямые углы А и В). Так как (D) L (Д). то (D) перпендикулярна плоскости, образованной прямыми (А) и AB; значит, (D) перпендикулярна и AN и, значит, ?_ MAN = 90°. Аналогично доказывается, что BMN — 90°.
2°. Сфера, описанная вокруг тетраэдра ABMN. Углы MAN и MBN прямые; значит, точки А и В лежат на сфере с диаметром MN. Центр Q этой сферы — середина MN.
Геометрическое место середин MN. Середина Q отрезка MN равноотстоит от фиксированных точек А и В; значит, точка Q лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка AB перпендикулярно этому отрезку. Пусть Ox и Oy — прямые, параллельные (D) и (А), проведенные через середину О отрезка AB. Они лежат в плоскости, проходящей через середину отрезка AB1 перпендикулярно этому отрезку. Обратно. Пусть Q — любая точка этой плоскости и пусть сфера с центром H1 проходящая через А и В, пересекает (D) и (А) в точках MuN. Тогда точки M и N — диаметрально противоположные точки этой сферы, так как / NAM = NBM = 90°; значит, H — середина MN; итак, геометрическое место середин отрезков MN есть плоскость, проходящая через середину О отрезка AB перпендикулярно к этому отрезку.
680
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Геометрическое место точек Q, если MN = 21. Если MN = 21 ( > AB),
то AQ = V-B = MN = L Значит, геометрическое место точек Q состоит из тех
точек плоскости хОу\ которые отстоят от А на расстоянии /, —это окружность,
лежащая в плоскости хОу
Черт. 264.
3° и 4°. Если /2 <
имеет одно решение;
центром Г 4
j/"I2-
О ABK 1
и радиусом
4°. V = І- dn2. о
22. Г. Геометрическим местом точек M является отрезок SO1 где О — точка пересечения диагоналей AC и BD (черт. 264).
2°. у = ^х2 — 7ах+7а2,
0 <; л <; 2а. При изменении х
от 0 до , у убывает от 7а2
2\а2
до —T77-; при изменении X
10
Та 5
21а
от до 2а, у возрастает
от -77j- до За2 (черт. 265).
21а2 10 '
если
задача не имеет решения; если I2 •¦ 21а2
21а2
задача
10
< I2
задача имеет
За2 < I2 < 7а2, задача имеет одно решение; если /2 > 7а2, задача не имеет решений.
5°. Точка С является точкой пересечения ребра .SC со сферой, центр которой / есть середина AD, а радиус
I2-
1
равен у 2 . 4 точки / до SC равно
а2. Расстояние от
сравнивая
V---
У 9 4
2а
—T=T Отсюда, У 5 '
2а
и —г=-, полу-
Vs
чим результаты предыдущего исследования.
23. 1°. Ромб ABCD (черт. 266) проектируется на плоскость (H) в ромб А'В СD', поскольку одна из сторон прямого угла между диагоналями BD и AC параллельна плоскости (H). Далее, A1C = AC cos 60° = 4а . ~ = 2а,
a потому А* С = В' D' и, значит, А'В'СD' — квадрат. Рассмотрим плоскость, проходящую через AC и
перпендикулярную плоскости (H). Эта плоскость есть плоскость симметрии ромба ABCD; потому что она проходит через середину О диагонали BD ромба и перпендикулярна отрезку BD. По той же причине эта плоскость есть плоскость симметрии квадрата A'B'CrD'\ отсюда следует, что эта плоскость есть плоскость симметрии (T). Плоскости, проектирующие отрезки AC и BDна плоскость (H), взаимно-перпендикулярны, так как BD перпендикулярна плоскости ACCА' (черт. 266).
2°, Ребра, полная поверхность и объем (T). Ответы: A'B'=aV2> AB = a Vb>- CC = а (1 +2 |/"3), BB' = DD' = а (1 + /З). Для вычисления полной поверхности (T) и объема удобно дополнить (T) до прямой призмы. Пусть O1 — точка, симметричная точке О' относительно О. Проведем через точку O1
Черт. 266.
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
681
плоскость, параллельную (H), и пусть она пересечет продолжение боковых ребер J^) в точках Л], B1, C1, D1 и т. л. Полная поверхность (T) равна S-= 2а2-(3+ 2У 3+ + 2 Vb); объем V = 2аъ (1 -l У 3).
3°. Сечения (Г) плоскостями (Я). Так как боковые противоположные грани (T) параллельны, то в сечении (T) плоскостью (P) получится параллелограмм. Для того чтобы этот параллелограмм был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы один из его углов был бы прямым; угол сечения, вершина которого распс-ложена на AA', проектируется в прямой угол А' квадрата А'В'СD'. Однако прямой угол проектируется ортогонально в прямой тогда и только тогда, когда одна из его сторон параллельна плоскости, на которую производится проектирование. Таким образом, в сечении получится прямоугольник тогда и только тогда, когда секущая плоскость (P) параллельна одной из сторон квадрата А'В'СD'. Для того чтобы сечение было ромбом, необходимо и достаточно, чтобы диагонали сечения были взаимно-перпендикулярны, а так как эти диагонали проектируются во взаимно-перпендикулярные диагонали А'С и В'D' квадрата А'В'СD', то одна из диагоналей сечения должна быть параллельна плоскости (H), следовательно, и одной из диагоналей А'С или В'D' квадрата; значит, секущая плоскость (P) должна быть параллельна одной из диагоналей квадрата A'B'C'D'. Наконец, для того чтобы сечение было квадратом, необходимо и достаточно, чтобы плоскость (P) была
