Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Черт
¦ высоты ADA.BC
678 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Ортогональность АН и SB. Прямая АН, проведенная через точку А плоскости SAM перпендикулярно линии SM пересечения двух перпендикулярных плоскостей ASM и BSM7 будет перпендикулярна плоскости BSM, значит, АН ± SB.
Геометрическое место прямых АН. Прямая АН ортогональна прямой SB; значит, прямая АН лежит в плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно SB. Обратно: пусть АН — любая прямая плоскости (Q)1 проходящей через А перпендикулярно SB. Тогда плоскость SAH пересекает (P) по прямой AM, и, как уже было доказано, плоскость SMB будет перпендикулярна плоскости SAM. Эти плоскости пересекаются по прямой SM; прямая АН будет перпендикулярна SM. Итак, геометрическое место прямых АН есть плоскость (Q), проходящая через А перпендикулярно SB.
Геометрическое место точек Н. Пусть С — точка, в которой плоскость (Q) пересекает SB; точка С — середина SB, ибо AB = AS. Соединим С и Н; так как прямая АН перпендикулярна плоскости SBM, то она перпендикулярна и НС. Значит, AHC = 90°. Геометрическое место точек H есть окружность, построенная
на AC как на диаметре; ее центр <о —- середина АС, радиус равен —~ .
У з
2R cos2 X
2°. Расстояние у от точки H до плоскости (P). Ответ: у — —-~—.
* 1 + COS2 X
условии, что
Если у = а, то cos
Л F 2R—d
Решение возможно при
о
¦ < 1, т. е. d < R.
2R~d
Геометрическое решение. Геометрическое место точек H есть окружность с диаметром АС, лежащая в плоскости (Q). Пусть h—точка прямой АС, расстояние которой до AB равно d. В плоскости (Q) геометрическое место точек расположенных на расстоянии d от плоскости (P), есть перпендикуляр в точке h к прямой АС. Точка H получается в пересечении этого перпендикуляра с окружностью, являющейся геометрическим местом точек Н. Задача имеет два решения, сим-
XA- 1
метричные относительно АС. 3°. у = 2R у [¦- при этом
4 Х + 3
ствующая дуга гиперболы выделена на черт, 26L
¦1<#<1. Соответ-
Черт. 261.
43. Г. Ортогональность плоскостей ADE и АБС (черт. 262). Ребро AD перпендикулярно плоскости BDC; значит, перпендикулярно прямой ВС, лежащей в этой плоскости. Ребро ВС ортогонально AD, а также высоте DE; значит, прямая ВС перпендикулярна плоскости ADE. Плоскость ABC проходит через прямую ВС, поэтому плоскости ABC и ADE также перпендикулярны.
2\ а) Ортогональность плоскостей BFK и ABC. Прямая BK L AD, потому что она расположена в плоскости DBC, перпендикулярной AD; по построению также BK J_ DC. Значит, BK — перпендикуляр к плоскости ADC и, значит, BK ± АС. Далее AC J_ BF, значит, AC — перпендикуляр к плоскости BKF. Плоскость ABC проходит через прямую АС; значит, плоскости ABC и BKF также перпендикулярны (черт. 262).
б) Ортоцентр H треугольника ВАС. Плоскости ADE и BFK перпендикулярны плоскости ABC и, значит, пересекаются по прямой, перпендикулярной
Ответы. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
679
плоскости ABC Одна из точек, общая этим плоскостям, есть точка N пересечения DE и BK — ортоцентр треугольника BDC; другая точка, общая плоскостям ADE и BEK1 есть точка Я пересечения AE и BE; эта точка Я есть ортоцентр треугольника ABC; в самом деле, AE — высота ABC, так как ВС есть перпендикуляр к плоскости ADE. Прямая NH1 следовательно, перпендикулярна плоскости ABC, и ортоцентр // треугольника ABC есть ортогональная проекция ортоцентра N треугольника BCD на плоскость ABC.
3°. Геометрическое место точек Я. Если А описывает полупрямую Dx, плоскость ADE остается фиксированной, точки NuE этой плоскости также фиксированы. Мы видели, что точка Я есть ортогональная проекция точки N в плоскость ABC; значит, ^ЯЯ?==90°. Следовательно, геометрическое место точек Я есть полуокружность плоскости xDE, построенная на NE как на диаметре.
Геометрическое место точек F. Так как плоскость ВЕК перпендикулярна плоскости ЛВС, а прямая AC перпендикулярна линии BF их пересечения, то AC—перпендикуляр к плоскости BFK; значит, AC ±_ FK. Поэтому ^ KFC = 90°; следовательно, если точка А описывает полупрямую Dx, то точки С и К остаются фиксированными, так же как и плоскость ADC Геометрическое место точек F есть, следовательно, полуокружность плоскости XDC с диаметром CK.
4°. Сфера, проходящая через шесть точек: C9 Е, H9 F9 K9 N. Рассмотрим четырехугольник, образованный четырьмя точками: C1 Е, N, К. Его противоположные углы E и К прямые. Далее, отрезок HN перпендикулярен плоскости ABC; значит, отрезок NC из точек Е, К, H виден под прямым углом. Итак, пять точек: N, C1 Е, К, H лежат на сфере с диаметром NC. Далее, прямая AC перпендикулярна плоскости BFK, следовательно, перпендикулярна и прямой NF этой плоскости; ^NFC •= 90°; значит, точка F лежит на той же сфере. Итак, шесть точек: С, Е, N, F, K1 H лежат на одной и той же сфере с диаметром NC; ее центр — середина отрезка NC1 радиус равен половине отрезка NC
Глава XXV. Разные задачи
3. Правильный шестиугольник. 16. Исходный треугольник—остроугольный. Сумма косинусов внутренних его углов равна 2. 20. Обозначим через S1 а, ? и у площади треугольников ABC1 PВС, PCA и PAВ; тогда (черт. 263) s = а -\~ ? -{- у. Прямые CP
