Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
значит, величина IN—произвольная; следовательно, точка N—любая точка прямой у'у.
35. 1°. Перпендикулярность MNn YY (черт. 256). Проведем через точку А прямую у My, параллельную прямой Y'BY; пусть (т:) — плоскость, в которой лежат прямые XіAX и у'By. Спроектируем ортогонально M на yfAy и проекцию обозначим через N'. Угол между X AX и у'Ay равен 60°. Мы имеем также AN' =
— —g_ = х. Следовательно, ^47V' и BN равны и параллельны; значит, AN'NB —
прямоугольник. Отсюда следует, что NN' || AB и NN' J_ (тс) и что AN'N есть
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
675
ортогональная проекция угла BNM на плоскость (тс), значит, / BNM = 90°, т. е. MN ± У'У.
2°. Пересечение (D) плоскостей (P) и OMN. Пусть H-
плоскости (P) с MN; прямая (D) есть тогда прямая ОН Имеем:
точка пересечения HM OA
Проведем H'H\\ NN' H7M HM
пусть H' — точка пересечения
AM
= —2, а так как по предположению
HH'
HN MN';
OB имеем
также
= 2, то АН' есть биссек-
H'N HN AN'
триса угла хАу. Но эта биссектриса есть ортогональная проекция ОН на плоскость (тс); прямая (D) параллельна АН'. Отсюда следует, что (D) — фиксированная прямая. Она образует с осями Х'Х и у'у углы по 30°.
3°. Прямая MNj определяемая плоскостью, проходящей через (D). Возьмем точку M на X'АХ; она определит вместе с прямой (D) проходящую через них плоскость, и эта плоскость не будет перпендикулярна AB. Эта плоскость пересечет у'Ay в точке M' такой, что AM' = АМ. Отсюда следует, что плоскость (М, D) и плоскость (AB1 у'у) пересекаются по прямой OM', причем OM' пересекает У'У
в точке N такой, что ~р- = ^- = і- , откуда BN= ~АМ. Прямая MN, которая соединяет точки пересечения плоскости (M1 D) с Х'Х и У'У, следовательно, такова, что AM = 2BN и на основании предыдущего MN j_ У'У.
4°. Ответ: X = aY2. Сфера с диаметром MN пересекает тогда AB в точке О и еще в точке О', симметричной О по отношению к основанию перпендикуляра, опушенного на AB из середины MN. Но середина MN проектируется в середину AB, а потому точка О' — это точка, лежащая на отрезке AB и такая, что О'А = а, О'В = 2а. При этом ?_ MO'N, так же как и / MON, равен 90°.
5°. Синус угла между ABn MON. Пусть К ~~ ортогональная проекция точки А на MM'. На основании теоремы о трех перпендикулярах OK A. MM'; следовательно, плоскость AOK перпендикулярна плоскости OMN, а потому OK есть ортогональная проекция AB на плоскость OMN, и угол AB с плоскостью OMN-
это угол AOK- Но AM = 2aY2> AK = a Y2, откуда tg AOK = —Х— и, значит,
г ^
sin AOK =
1
37. 1°. Длина AA' и угол AA' с ОО'. Пусть В — ортогональная проекция А в плоскость окружности (С); тогда A'B= const, так как А'В — гипотенуза треугольника A'Q'B, катеты которого R и R' — постоянны, AB = const, ибо AB = ОО', значит, AA'= const (как гипотенуза треугольника с постоянными катетами). Отсюда следует, что и BAA' = const, (черт. 257). Вычисление AA' и
(ОСґТаА'). Так как OA = 15, О'А' =20, то А'В = 25, но_ и AB = 25, значит, AA' = 25/2 и
Z = (0(f^AA') = 45°.
2°. Общий перпендикуляр к ОО' и AA'. Общий перпендикуляр IK к AA' и ОО' параллелен плоскости окружностей (С) и (С), ибо ОО' — перпендикуляр к этим плоскостям и проектируется
который является перпендикуляром из О прямого угла IKA, параллельна плоскости
AK BK'
Черт
плоскость окружности (С) в отрезок О'К'* п' на А'В (ибо одна из сторон, именно KI
BK' О'В2
проекции). Находим
152 202 25
_9_ 16
и далее
OI 10'
= -2g- = l, значит, IK = О'К', то О'К'
KA'
OI = 9, 10' = - О'В; О'А' ~ BA'
К'А'
16. Значит, 15-20
25
К'А'
9 OI 10'
ш, откуда -§- = -16- =
/ — фиксированная = 12. Итак, IK = 12.
OM'2 OI + IO'
9 + 16 точка. Так
как
43*
676 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
3°. Геометрическое место точек К. Из предыдущего следует, что точка К описывает окружность (F), радиус которой равен 12, центр I, а плоскость параллельна плоскостям окружностей (С) и (С).
Прямые (D) и (А), проходящие через точку К окружности (Г). Пусть К— какая-нибудь точка окружности (F) и KJ — ее проекция на плоскость (С); так как O1K' = IK = 12, то точка К' лежит внутри окружности (С). Проведем через точку Кг хорду (С) перпендикулярно О'К', пусть А' и а' — концы этой хорды. Имеем А'К'2 = О'А'2 — О'/</2 = 202 — 122 = 162, откуда А'К' = 16, следовательно, A1K' — K1K Отметим на продолжении отрезка А'К' за точку К' точку В такую, что О'В J_ О'Аг\ проведем КА'\ проведем через точку В прямую, параллельную KK'- Эти последние прямые пересекаются в точке А, и мы имеем А'В — В' А2 902
25 = BA1 значит, точка А лежит в плоскости круга (С). Далее
А'К' 16 0>В=°'К'А'В
12-25
= 15, значит, OA = 15, а поэтому точка А лежит на
А'О' 20
окружности (С). Таким образом, прямая KA' пересекает окружность (С) в точке А; радиус OA, параллельный 0'B1 перпендикулярен радиусу и'А' окружности (С). Прямая KA' есть прямая (D). Аналогично доказывается, что прямая Ka.' пересекает окружность (С) в точке а; прямая IW—это прямая (А). Так как Д/С/С'Л' прямоугольный и равнобедренный, то ?_ (D1 А) — 90°, прямые (D) и (А) взаимно-перпендикулярны. 33. Построим прямоугольный параллелепипед с ребрами DA = a, DB — Ь, DC = c Его диагонали AA', BB', CC', DD' будут тогда диаметрами сферы (О)» описанной вокруг DABC Обозначим через р, q и г расстояния вершин Аг В, D А
