Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
33. Г. Плоскость, содержащая С и D (черт. 252). Так как CA = CB, то С
лежит в плоскости, проходящей через середину К отрезка AB перпендикулярно этому отрезку. Так как DA = DB, то точка D лежит в этой же плоскости. Так как CD лежит в плоскости, ортогональной AB, то AB j_ CD. Если плоскости CAB и DAB совпадают, то точки CnD лежат на медиатрисе отрезка AB; CD ± AB.
2°. AH = BH. Высоты, выходящие из Ли В, в треугольниках ACD и BCD лежат в плоскости, проходящей через AB перпендикулярно CD; эта плоскость существует, так как AB J_ CD; значит, высоты AHn BH пересекаются в точке Н, в которой эта плоскость пересекает CD. Далее, так как отрезок CD лежит в плоскости (77), проходящей через середину отрезка AB перпендикулярно этому отрезку, то и точка H лежит в этой плоскости, значит AH= ВН.
Черт. 252. Черт. 253.
3°. Величина CA = Ya2 -f d2 -f- х2. Соотношение между and, при. котором плоскости ACD и BCD будут перпендикулярны. AHB — линейный угол между указанными плоскостями, он должен быть прямым. UoKH—медиана, проведенная к гипотенузе. Значит, искомое соотношение a = d.
4°. а) Точка D' на CK. Так как CK—одновременно медиана и высота равнобедренного треугольника ABC, то AB ± КС. Но AB ± CD, значит, AB и плоскость KCH перпендикулярны и, значит, плоскость KCH перпендикулярна плоскости ABC; значит, перпендикуляр DD'', опущенный из С на плоскость ABC, лежит также в плоскости КСН; значит, точка D' лежит на прямой CK
б) Ортогональность DB и АС. Для того чтобы DB и AC были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы плоскость BDD'', которая перпендикулярна плоскости ABC, была бы перпендикулярна АС, иначе говоря, чтобы пересечение BD' этих двух плоскостей было перпендикулярно АС, т. е. BD' — высота треугольника ABC; но CK—высота того же треугольника. В таком случае AD' — третья высота ABC; следовательно, она перпендикулярна ВС. Плоскость AD'D перпендикулярна ВС, значит, AD ± ВС.
Приложение. Пусть Cx — прямая, ортогональная AB. Пусть D' — ортоцентр треугольника ABC. Искомая точка D есть точка пересечения Cx с прямой, лежащей в плоскости CKx и перпендикулярной CK Исключение составляет тот случай, когда Cx J- пл. ABC.
34. 1°. Ортогональность AM и Bi. Если d2 = ab (черт. 253), то О/2 = = — ОА OB; треугольник AIB — прямоугольный (/ = 90°), значит, BI J_ Al. С другой стороны, у'у _1_ х'х и у'у _і_ Ю, значит, у'у перпендикулярна плоскости ABI4 поэтому BI j_ IM. Кроме того, IA i. IM, a BI перпендикулярна плоскости AIM, значит, BI _]_ AM.
43 П. С. Моденов
674 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО*
Объем тетраэдра ABMI. Треугольник AIB — основание, IM—- высота, у = ~- ab (я -f" b).
2°. Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из В
на AM. Так как d2 Ф ab, то ортогональная проекция В' точки Ё на плоскость, проходящую через А и у'у есть точка прямой Al, отличная от / (черт. 254). Пусть H—основание перпендикуляра, опущенного из В на AM. Соединим В' с H
На основании теоремы о трех перпендикулярах В'H J_ AM и обратно. Значит, геометрическое место точек H есть окружность, построенная в плоскости (А, у'у) на AB' как на диаметре.
3°. Точка N такая, что AM j_ BN. Если M задана, то точка N лежит в плоскости, проходящей через точку В перпендикулярно AM. Если M отлична от /, то AM — наклонная к у'у и эта плоскость пересекает у'у в точке N. Эта плоскость содержит BB' и BH и пересекает плоскость (А, у'у) по прямой В'Н; точка N, следовательно, — точка пересечения HB' с у'у.
Af- ортоцентр AB'N. На основании Г, у'у J_ AB'\ на основании 3°, NB' J_ АН. Таким образом, MN и MA суть высоты треугольника AB'N на его стороны AB' и ATZ?'; значит, M — ортоцентр этого треугольника. Ортогональность AN и BM. Из предыдущего следует, что MB' — третья высота треугольника AB'N, значит, MB' J_ NA. Так как BB' — перпендикуляр к плоскости AMN, то BB' j_ AN, значит, AN j_ BB' и AN ± В'М, поэтому AN — перпендикуляр к плоскости BB'M и значит, AN ± BM.
4°. Произведение IM • IN. Пусть С—точка, симметричная точке В' относительно у'у. Точка В' — ортоцентр треугольника AMNt так как NH ± AM и AI±NM; значит, окружность, описанная вокруг треугольника AMNt проходит через точку C1 и мы имеем (выражая двумя способами степень точки / относительно
этой окружности) IM • IN = IA • 1С = — IA • IB' = const (при условии, если точка M
описывает прямую у'у).
Значение этого произведения в функции а, Ь, d. Обозначим через / точку
пересечения BB' с OI (черт. 255). Треугольники BOJ и IOА подобны, следовательно,
OB OJ „r ab _ , п . и,
Точки /, О, Л, В лежат на одной окружности;
Черт. 254.
?7- = 70-' 0ТКУда 0J==
OA '
d
значит; IA • IB' = IO IJ = d
¦ d2 — ab. Итак, IM • IN =^ab —d2.-
Y
H M
Черт. 255. Черт. 256.
_Случай й2 = ад. В этом случае предыдущее соотношение принимает вид
IM • IN = 0. Если точка M лежит на прямой у'у, но не совпадает с /, то 1М_Ф 0,
значит, IN = 0 vi точка N совпадает с /. Если точка M совпадает с /, то IM = 0,
