Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Af'
Черт. 250.
672 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
вне окружности (а3). Следовательно, если сама точка Ор лежит внутри окружности (а3), прямая (X) плоскости (P) — это любая прямая плоскости (P), которая не пересекает эллипс (E3), имеющий Ор своим фокусом, а (а3) — направляющей окружностью. Если точка Ор лежит вне окружности (а3), прямые (X) — это прямые, пересекающие гиперболу (H3), имеющую Ор фокусом, а (а3) — направляющей окружностью. Следовательно, если плоскость (P) пересекает только сферу (S3), прямые плоскости (P), на которых может лежать ребро тетраэдра (T), это, в соответствии с рассмотренными случаями, либо прямые, не пересекающие эллипс (?3),
либо прямые, пересекающие гиперболу (H3). (у) Если плоскость (P) пересекает обе сферы (S3) и (S4) по окружностям (а3) и (а4), то, повторяя предыдущие рассуждения и замечания, что точка Ор не может лежать одновременно внутри (q3) и (а4) (ибо сферы (S3) и (S4) касаются внешним образом), получим, что если точка Ор лежит вне обеих окружностей (а3) и (а4), то прямые (X) плоскости (P) — это все прямые, пересекающие гиперболу (Я3) и гиперболу (H4) с фокусом Ор и направляющей окружностью (а4); если точка Ор лежит внутри (а3) и, следовательно, вне окружности (а4), прямые (X) плоскости (P) — это все прямые, которые не пересекают эллипс (E3) и пересекают гиперболу (H4); если точка Op лежит вне окружности (а3) и, следовательно, внутри окружности (а4), то прямые (X) плоскости (P) — это все прямые, лежащие в этой плоскости, которые пересекают гиперболу (Я3) и не пересекают эллипс (E4).
Исследование прямых (К), соответствующих прямым (X)9 проходящим через данную точку S. Пусть дана прямая SX, проходящая через данную точку S, на которой (т. е. на прямой X) расположено ребро тетраэдра (T) (черт. 251). Прямая (Y), на которой лежит противоположное ребро тетраэдра (T), перпендикулярна плоскости (SX, H) и, следовательно, ортогональна прямой SH этой плоскости. Таким образом, прямые (Y), соответствующие прямым (X), проходящим через данную точку S, ортогональны фиксированной прямой SH. Рассмотрим те-Черт 251 перь фиксированную плоскость (Q), пер-
пендикулярную SH. Геометрическое место ортогональных проекций L точки О на прямые SX составляет часть сферы (S) с диаметром OS [внешнюю по отношению к сферам (S3) и (S4)]. Геометрическое место середин M противоположных ребер получается в результате симметричного преобразования указанного геометрического- места относительно точки G. Заметим, что при этой симметрии сфера (S3) перейдет в сферу (S4) и наоборот. Отсюда следует, что геометрическое место точек M есть часть [внешняя по отношению к (S3) и (S4)] сферы с диаметром SxH, где Sx — точка, симметричная точке S относительно G. Для прямых (Y), расположенных в фиксированной плоскости (Q), перпендикулярной SH, геометрическое место точек M есть часть окружности, по которой пересекаются сфера (S1) и плоскость (Q), расположенная вне сфер (S3) и (S4) (если, конечно, плоскость (Q) пересекается со сферой S1). Обозначим теперь через Og ортогональную проекцию точки О на плоскость (Q) и через-(g1) — окружность, по которой плоскость (Q) пересекает сферу (Sx). Прямая (Y) плоскости (Q) — это такая прямая, для которой ортогональная проекция на нее точки Oq лежит на указанной выше части окружности (ах). Мы видим, таким образом, что огибающая прямых (Y) плоскости (Q) (если она существует) есть эллипс, или гипербола, или дуги этих линий, имеющих фокус Oq и направляющую окружность (g1). Если Oq лежит внутри (qx), то эта огибающая — эллипс, а если точка Oq лежит вне окружности (а,), эта огибающая — гипербола.
Построение тетраэдра (T) по двум точкам 5 и S', через которые про-, ходят соответственно ребра AB и CD. Мы видели, что прямые (Y), соответствующие прямым (X), проходящим через точку S, перпентикулярны прямой SH
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIV. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 673
Следовательно, прямые (Y), проходящие через точку S', расположены в плоскости (Q), проведенной через точку S' перпендикулярно SH. Мы также установили, что прямые (Y), лежащие в плоскости (Q) ± SH, соответствующие прямым (X), проходящим через точку S, огибают эллипс или гиперболу с фокусом Oq (Oq — проекция О на плоскость Q) и направляющей окружностью (G1), по которой плоскость (Q) ,пересекается со сферой (S1), симметричной сфере (S) с диаметром OS относительно G. Следовательно, прямые SrY суть касательные, проведенные из точки S' к указанной выше линии второго порядка. Следовательно, задача имеет два, одно или ни одного решения. Возьмем одно из решений S'Y; проекция точки Oq на прямую S'Y дает середину M ребра, расположенного на S'Y; обозначая через L середину противоположной стороны (точка L симметрична точке M относительно точки G), мы находим прямую .SZ,, на которой лежит противоположное ребро тетраэдра. Зная две прямые, на которых лежат два противоположных ребра Тетраэдра (T), можно построить этот тетраэдр так, как уже было указано выше.
Глава XXIV. Задачи на доказательство
