Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
направляющей окружностью служит образ окружности (Od) в гомотетии ^D', —^j)
полное исследование уже было дано выше. Для того чтобы точка D' была внутренней точкой окружности (Od)1 необходимо и достаточно, чтобы OD' < OD; рассматривая центр о второй сферы Эйлера, это условие можно переписать так: D'O < 3D'c; отсюда следует, что точка D' должна лежать вне сферы, являющейся геометрическим местом точек, для каждой из которых отношение расстояний от точек О и о равно 3. Это сфера с диаметром GH; тогда точка D' есть проекция точки /, симметричной с точкой а относительно G на плоскость (Я). Таким образом, плоскости (Я) — это плоскости, не проходящие через точку G и такие, что ортогональные проекции на них точки / лежат вне сферы (S3). Рассмотрим теперь плоскость, проектирующую прямую ОН на плоскость (Я); эта плоскость пересекает сферу (S) по окружности o3 с диаметром GH и плоскость (Я) по прямой OdHd; точка D' является внешней точкой по отношению к окружности а3, поэтому прямая OdHd пересекает гиперболу, для которой /—фокус, а о3 — направляющая окружность. Плоскость (Я) — это, следовательно, такая плоскость, что проекция на нее прямой ОН пересекает эту гиперболу. Значит, плоскость (77) — это любая плоскость, пересекающая двуполостной гиперболоид вращения, полученный при вращении этой гиперболы вокруг оси OH1 за исключением плоскостей, проходящих через точку G.
Изучение тетраэдра (T), для которого задана прямая, на которой лежит одно из его ребер. Предположим, что ребро AD тетраэдра (T) расположено на данной прямой (X) (черт. 250). Ортогональная проекция Z точки О на (X) есть середина AD; середина M противоположного ребра CD есть точка, симметричная с точкой Z относительно G. Перпендикуляр (Z)1 опущенный из Яна (X)1 есть общий перпендикуляр для прямой (X) и для прямой (Y)1 на которой лежит сторона ВС. Прямая (Y)1 следовательно, получится, если на прямую (Z) из точки M опустить перпендикуляр. Так как HM ортогональна (X)1 прямая (Y) расположена в плоскости (Z1 HM). Вершина AwD — это две точки прямой (X)1 симметричные по отношению к Z и такие, что АН перпендикулярна плоскости (D1 Y); следовательно, АН J_ DM. Пусть M' — точка, симметричная с точкой M относительно Z; тогда AM'WDM1 значит ? M'HM = 90°. Следовательно, точка А лежит на сфере (S) с диаметром М'Н. Центр этой сферы лежит в точке со пересечения прямых OL и М'Н, ибо OG = GH1 LG = GAi. Точки AwD суть, следовательно, точки пересечения сферы (S) с,прямой (X); эти точки симметричны относительно точки L1 а потому coZ есть диаметр сферы (S); перпендикулярный прямой (X). Для того, чтобы эти точки существовали, необходимо и достаточно, чтобы coZ < соЯ. Обозначая через а центр второй сферы Эйлера для
тетраэдра (T)1 будем иметь соЯ=^-Ла, toL = ¦i- LO; значит, условие coZ < соЯ
примет вид LO < 3Za. Это неравенство показывает, что точка L должна лежать вне сферы, являющейся геометрическим местом точек, для каждой из которых . отношение расстояний до О и до a равно 3. Эта сфера есть сфера (S3) с диаметром GH; H и D1 таким образом, будут определены: вершины В и С будут точками пересечения сферы с центром О и радиусом OA с прямой (Y). Эти точки существуют, если OM < OA или LH < OA. Далее имеем OA2 = AL2 + LO2 = соЯ2 — coZ2 + OL2 == 9 3
= -j Lo2 + j OL2 и LH2 = 2LG2 -J- 2OG2 — OL2. Прилагая теорему Стюарта к треугольнику LOG и секущей Za, получим Za2. OG -f ZO2 • ¦^p--LG2-^OG —
— -i OG • OG • і OQ = 0, откуда Za2 = і OG2 + ~ LG2 — Xr L02t следовательно,
Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК 671
OA2 = 3LG2 + OL2. Предыдущее условие принимает вид 2LG2 + 2OG2 — OL2 < < SLG2-{-OG2 или OG2 < LG2 + LO2. Отсюда следует, что точка L должна лежать вне сферы (S4) с диаметром OG. Таким образом, прямая (X), на которой лежит ребро тетраэдра (T)— это такая прямая, для которой ортогональная проекция L на нее точки О лежит вне сферы (S4), а также и вне сферы (S3).
Прямые (X)9 проходящие через данную точку S. Геометрическое место ортогональных проекций точки О на прямые, проходящие через точку S, образуют сферу (S) с диаметром OS. Эта сфера пересекается со сферой (S4), так как сферы (S4)
и (S3) имеют общую точку О; пусть (а4) — окружность, по которой пересекаются сферы (S) и (S4). Прямая, выходящая из точки S, только тогда может быть прямой (X), если она проходит вне конуса (C4), имеющего 5 своей вершиной, а (а4) — направляющей окружностью. Если при этом сфера (S) не пересекается со сферой (S3), то всякая прямая, проходящая через точку внешняя по отношению к конусу (C4), будет прямой (X). Если же сфера (S) пересекается со сферой (S3) по окружности (а3), то окружности (а3) и (а4) будут различны, так как они расположены на сферах (S3) и (S3), внешне касающихся друг друга. Прямой (X) является в этом случае любая прямая, проходящая через точку S и расположенная вне конусов с вершиной в Sy направляющими окружностями которых служат окружности (а3) и (а4).
Прямые (X), расположенные в данной плоскости (P). Геометрическое место ортогональных проекций точки О на прямые плоскости (P) — это сама плоскость (P). Заметим, что если Ор — проекция точки О на плоскость (P), то проекция точки О на прямую, лежащую в плоскости (P), совпадает с проекцией точки О на эту прямую. Прямая плоскости (P) может быть прямой (X) тогда ті только тогда, когда ортогональная проекция точки Ор на эту прямую лежит и вне сферы (S3), и вне сферы (S4). Поэтому, если плоскость (P) не пересекает (S3) и (S4), всякая прямая плоскости (P) есть прямая, на которой может лежать ребро тетраэдра (T). Если плоскость (P) пересекает одну из этих сфер, например сферу (S3) по окружности (а3), то проекция точки Op на прямую (X) плоскости (P) должна лежать
