Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
/пч /rv4 п NN2 В'N В'N 1
остаются параллельными (D) и (D). Далее, = ~?> ? = ?'jy _^_'?tf ~ \ _|_ ^ »
N2N1 B1N1 B1N1 1 1 NN2 BB1 BB1
1 — — 1 — --------- откуда -— = —j—~ ; но -j—~ = const,
В'В[ ВХВ[ B1N1-^B[N1 l+k N2N1 В'B1 В'в[
ибо ВХВ[ остается параллельной плоскости (P). Значит, ^^J- = const. Отсюда
также следует, что направление NN1 фиксировано в плоскости, проходящей через N параллельно (D) и (D'). Геометрическое место точек N1 есть, следовательно, прямая, проходящая через точку N (аналогично и для N'). Следствие. Если k изменяется, существует бесконечное множество прямых, являющихся геометрическим местом точек, делящих отрезок BB' в отношении k. Эти прямые, по доказанному, пересекают все прямые BB'; все они, по доказанному, параллельны плоскости, параллельной (D) и (D'). Итак, прямые BB', параллельные плоскости (P) и пересекающие две скрещивающиеся прямые, не параллельные этой плоскости, пересекают еще (каждая) бесконечное множество прямых, параллельных другой плоскости (Q).
18. Пересечение (R) с плоскостью SML. Плоскость SML содержит прямую SB. Плоскость (R) параллельна плоскости SBC, параллельна и прямой SB. Значит, плоскость (R) пересекает плоскость SML по прямой, параллельной прямой SB (черт. 248).
Сечение пирамиды SANLM плоскостью (R). Обозначим через A', MwN' точки пересечения ребер SA, SM и SN с (R). Мы видим, что LM'\\ SB. Грань SAN содержит прямую SB, значит, (R) пересекает эту прямую по прямой A'N'WSB. Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что (R) пересекает SNL и SAM по прямым LN' и А'М', параллельным SC Четырехугольник A'M'LN, противоположные стороны которого параллельны, есть, следовательно, параллелограмм.
Площадь параллелограмма (P1). Гомотетия ^A, преобразует LbHh, следовательно, плоскость (R) — в плоскость SBC Черт. 248. Она преобразует параллелограмм (P) в параллелограмм (P1) с диагональю SH, стороны которого параллельны SB и SC; пусть SN1HM1—этот параллелограмм. Площадь треугольника SBC равна
5 = SK ^BC Треугольники BHN1 и CHM1 подобны треугольнику SBC
BHN1 ( BH \2 b2 CHM1 ICH* с2 и, значит, -= -v>7- = , ,2 , —--= -т^уг = ті—і—, значит,
CB) (Ь + су
Ь2 4-е2 Ь2 4- с2 kbc
CHM1+ BHN1 = JfZf^f s> значит' P^s~JbZf^2s== (b + cy ' ПлощаДь
параллелограмма (P). (P) получается в результате гомотетии (P1) с коэффициентом
AL HL-HA 1-а п п (1 — а\2 kbc /1 — а\2
гомотетии _ =--=-=-, значит, P = P1 - = ———- - .
АН АН а \ а I (Ь + су\ а )
Объем пирамиды SА'М'LN'. АН _]_ ВС и, если мы опустим из точки А перпендикуляр на плоскость SBC, то длина этого перпендикуляра будет равна a sin а,
668 Ответы. Стереометрия. Гл. XXIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК
ибо величина двугранного угла с ребром ВС равна, по предположению а. Расстояние от точки А до плоскости (R) гомотетично этому последнему (a sin а) в отношении ^—^— ; оно равно, следовательно, (а — /) sin а. Расстояние же от 5 до плоскости (P) есть разность расстояний от точки А до плоскостей SBC и (R) и, таким образом, высота пирамиды SA'NfLM' равна / sin a, a ее объем v = Pl sin а — kbc I a — l\2 , .
Геометрическое место точек 5 таких, что P = const. Длины а, Ь, с, d фиксированы, значит, если P = const, то k = const и наоборот. Геометрическое место точек 5 — это геометрическое место точек, равноудаленных от ВС. Это цилиндр вращения с осью ВС и радиусом k; отсюда надо исключить две образующие, расположенные в плоскости треугольника ABC.
Геометрическое место точек .У таких, что v = const. Мы видим, что
V = const тогда и только тогда, когда k sin а = const, а так как k sin а есть расстояние от точки S до плоскости ABC, то геометрическое место точек S таких, что
V = const состоит из двух плоскостей, параллельных плоскости треугольника ABC на расстоянии k sin а от этой плоскости.
4°. Геометрическое место .У при условии, если a) P—прямоугольник. Напомним, что параллелограмм (P1) с вершинами 5, N1, Н, M подобен (P). Значит, в этом случае угол BSC должен быть прямым и, следовательно, точка S должна быть на сфере с диаметром ВС. Из этой сферы исключаются точки ее пересечения с плоскостью треугольника ABC.
б) (P) — ромб. В этом случае SH—биссектриса угла BSC. Следовательно, если мы обозначим через H' точку, сопряженную с H относительно В и С, ТО" биссектрисы углов BSC должны проходить через фиксированные точки H и H' и геометрическое место точек есть сфера, построенная на HH' как на диаметре, за исключением точек этой сферы, расположенных в плоскости треугольника ABC.
в) (P)—квадрат. Необходимо и достаточно, чтобы выполнялись одновременно условия а) и б). Геометрическое место точек S есть окружность, по которой пересекаются сферы с диаметрами ВС и HH', за исключением двух точек этой окружности, лежащих в плоскости треугольника ABC Геометрическое место вершин квадрата (P). H—фиксировано, дописывает предыдущую окружность; значит, вершины M1 и Nx описывают также окружности с осью ВС, поскольку эти точки M1 и N1 лежат на медиатрисе отрезка HS по одну и по другую сторону от HS
