Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Имеется еще одна окружность, касающаяся полупрямых Cz и Ba и полуокружности (AB) — это окружность с диаметром ВС; при указанной инверсии эта окружность перейдет в себя, и она действительно касается (AB), (АС) и (D) (в дальнейшем эту окружность мы исключим из рассмотрения).
Итак, точку со' мы можем построить; точка / будет расположена на прямой Аи>'. Рассмотрим теперь инверсию (В, BA - ВС). В этой инверсии полуокружность (AB), полупрямая Cz перейдут друг в друга, а полуокружность (АС) — в себя. Следовательно, окружность (/), касающаяся (AB), (АС) и Cz, перейдет в окружность, касающуюся (AB), (АС) и Cz. Но существует лишь одна окружность, удовлетворяющая всем трем условиям касания; в самом деле, при помощи первой инверсии было установлено, что ее образ после инверсии единственен. Отсюда следует, что окружность (/) инвариантна в инверсии (В, BA • ВС). Степень точки В относительно (/) равна поэтому степени инверсии BA • ВС- Точка В имеет одинаковую степень относительно окружности (/) и окружности с диаметром AC и потому расположена на радикальной оси этих окружностей, но эти окружности касаются, поэтому точка В лежит на касательной в точке T1 в которой касаются окружности (/) и (АС). Значит точка / лежит на прямой KT1 где T — точка прикосновения с (АС) касательной, проведенной из В. Центр / окружности (/) лежит на прямой KT и является точкой, в которой пересекаются прямые KT и Au'. Точки прикосновения (/) с (AC), (D) и (AB) суть соответственно: точка Т, проекция точки / на (D) и точка, в которой продолжение OI пересекает AB.
3°. Окружность (J), касающаяся (AB), (CD) и (D). Аналогично находим, что центр J окружности (J) расположен, с одной стороны, на прямой By', где у' — точка, в которой медиатриса отрезка AC пересекается с окружностью с центром О и радиусом OA -\-KA, с другой стороны — на прямой, проходящей через середину H отрезка CB и через точку U прикосновения касательной к (CB), проведенной из А.
4°. Радиусы окружностей (/) и (J). Рассмотрим окружность (/)-и ее образ (/') в инверсии (А, ло • AC) и пусть P1 — радиус окружности (/). Точка А есть центр положительной гомотетии окружностей (/) и (U). Степень инверсии с полюсом А, в которой окружности (/) и (P) переходят друг в друга, равна AB • АС = 2а • 2х~= 4ах.
R 4ах
Радиус окружности (/') равен, очевидно, у, поэтому на основании Г —~ = - ,
откуда P1 = Можно легко подсчитать р, если предварительно доказать, что
точки T' и S' прикосновения окружности (/') с Ba и (AB) расположены на одной прямой с точкой А. В самом деле, для окружности с диаметром AB и о кружно-сти (/') точка S' есть центр гомотетии и, значит, касательная к окружности с диаметром AB в точке M (в которой ее пересекает прямая S'T') будет параллельна
644 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
касательной ТВ в точке T к (/'); следовательно, касательная в точке M к окружности с диаметром AB будет перпендикулярна AB и, значит, точка Af совпадает с А. Таким образом, р = AS' ¦ AT или. замечая, что ABT — прямоугольный треугольник, a BS'—его высота, будем иметь: р = AB2 = 4а2, откуда P1 = .
v v
Аналогично найдем P2-P1 = ^-, Окружности (/) и (J)1 таким образом, равны.
Максимум для R1 и R2. Так как х 4- у = а, то максимальные значения /?, и P2 будут иметь тогда, когда х = у. Точка С в этом случае — середина
а максимальные значения для R1 и /?2 таковы: R1 = /?2 — -~.
91. Г. Перемещение точек Л/ и ЛГ. Обозначим через FX и РА" полупрямые, выходящие из P и проходящие соответственно через Al и ЛГ. Угол XFX' сохраняет величину и знак, и его стороны должны пересекать (D). Значит этот угол может вращаться вокруг двух крайних положений: X1FX^ — положение, в котором FX\\(D) (в этом случае Al— бесконечно удаленная точка), и положение X1FX21 в котором PY'jj (D) (точка AV в бесконечности). Пусть Л!, и Af >— положения ЛГ и .И, соответствующие указанным крайним положениям угла XFX'. Когда угол XFXr вращается от положения XxJhX1 к X2FX^ то точка Al движется из бесконечности (снизу вверх) и доходит до точки Л72> а точка A4' начинает свое движение с положения М\ и движется вверх (до бесконечности).
Геометрическое место центров С окружности, описанной вокруг треугольника MFM'. Пусть E — проекция С на" (D). Угол AfPAT— вписанный угол
т. 2-
для окружности (С), и так как он равен -у , то угол MCAV равен и значит
о о
угол MCE равен —, потому CP = CVIcOS-™ = ^-", откуда ^ п» следо-
CP
пательно, = 2. Таким образом, отношение расстояний от С до P и (D) постоянно и равно 2, а потому точка С лежит на гиперболе (H) с фокусом F1 соответствующей директрисой (D) и эксцентриситетом е = 2. Для того чтобы уточнить положение основных элементов этой гиперболы, заметим, что директриса (D), соответствующая фокусу F1 есть поляра точки P по отношению к главной окружности гиперболы (Ff)9 а асимптоты (H) — это прямые, соединяющие центр гиперболы с точками касания касательных, проведенных из F к главной окружности, и, наконец, угол O, который образуют асимптоты гиперболы с фокальной осью,
