Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Расположение малой оси эллипса (E) и второй его директрисы (Д). Малая
ОСЬ, будучи Перпендикулярна FO В ТОЧКе О, ПОСТОЯННО ПрОХОДИТ Через ТОЧКу (о.
Вторая директриса (D'), будучи симметричной (D) относительно любой точки малой оси, в частности относительно точки со, будет проходить постоянно через точку F, симметричную / относительно со.
3°. Геометрическое место точек В и В'. Обозначим через 6 угол OFB, через 2а и 2с — длины большей оси и фокальное расстояние эллипса (E). Имеем
cos ^ = ТВ ~ ~а = Є' ^гол ® имеет, следовательно, постоянную величину. Отсюда следует, что геометрическое место точек В получается из геометрического места точек О подобием с центром F, углом 6 и отношением подобия —?—= —; это
COS U @
геометрическое место есть окружность, проходящая через F, центр С которой получается из центра 7 окружности (О) [геометрического места центров эллипса (E) ] указанным подобием. Треугольник F^C подобен треугольнику FOB и 7 = 90°, значит точка С расположена на медиатрисе /чо; значит, окружность В — геометрическое место точек В — проходит через со ^если е = , то Д FOB равнобедренный и точка С расположена на окружности (O)J . Геометрическое место точек В'
есть окружность, симметричная предыдущей относительно FH. Далее, точки В, О, со лежат на одной прямой, поэтому, если точка В задана, точку О находим как точку пересечения окружности (О) с прямой Воу, точки А, А и F суть точки пересечения прямой FO с окружностями, являющимися геометрическими местами этих точек; наконец, директрисы (D) и (D') — это прямые, перпендикулярные FO и проходящие через / и /'.
4°. Касательные, проведенные из точки / к (E). Известно, что отрезок касательной к линии второго порядка, заключенный между точкой касания и директрисой (D), виден из фокуса F, соответствующего директрисе (D) под прямым углом. Значит точки MnM' прикосновения касательных, проведенных из / к (E), расположены на перпендикуляре (L), проведенном из F к FI. Если директриса (D) задана, a M — точка прикосновения одной из касательных, т — проекция M на (D),
то JJj^ == е, откуда Mm = —^-. Обратно: если M — данная точка прямой (L), то ей соответствует линия второго порядка (E), если существуют касательные, проведенные из точки / к окружности с центром M и радиусом ~—. Необходимое
„'MF MF^
и достаточное условие существования этих касательных MI > — - , или j/[j~^e*
PF
Геометрическое место точек P плоскости таких, что -pj- = е, есть окружность
с центром на прямой FI, пересекающая эту прямую в точках, делящих этот отрезок FI в отношениях е и —е (это точки а и а', которые мы уже имели выше). В зависимости от того, будет ли точка P лежать внутри или вне этой окружности, отношение ее расстояний до точек F и / будет < е или > е. Значит геометрическое
MF
место положений точек M таких, что -щ- < е, есть отрезок прямой (L), заключенный
между точками M1 и M2, в которых она пересекает окружность с диаметром аа. Если M и M' — точки прикосновения касательных, проведенных из / к эллипсу (E) с данной директрисой (D), то, обозначая проекции точек M и M' на (D) через т
, „ MF M'F FM Mm JM _
и т , будем иметь: -V7— = е, -ТГ,—7 = е, откуда = -T77—г = -ггтг • Значит
' J Alm Al m " FM Mm JM
точка J гармонически сопряжена с F относительно Al и Al'. Так как точка F
есть центр отрицательной гомотетии окружностей с центрами M и M', проходящих
Отвегы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 643
через F, то /— центр положительной гомотетии тех же окружностей. Для построения точек M и M' достаточно заметить, что расстояния от этих точек до F являются расстояниями от них до прямой IF. Значит точки M и M' лежат соответственно на прямых (Д) и (Д'), являющихся прямыми, для каждой точки которых отношение расстояний до прямых FI и (D) равно е. Мы получим легко по одной точке каждой из прямых (Д) и (Д') как точки пересечения прямых, параллельных FI и отстоящих от этой прямой на расстояниях Fa, с прямой, параллельной (D) на расстоянии а/ от этой прямой.
90. 1°. Пусть P и Q— точки пересечения окружности (С) с прямой ООг, a P' и Q'— точки окружности (C)1 которые соответствуют точкам PhQb гомотетии с центром S, преобразующей (С) в (С). Имеем: р = SP- SQ, pr = SP' - SQ',
k = SP'.5Q = SP-SQf\ Ш=- = ЬЖ- = —-. Теперь находим — = ~ = _ _ SP SQ _R _ R SP
SP'-SQ k R' SP' SP'•SQ' рг 1Л
• =— и аналогично -— — —— = - - . Итак,
SP-SQ р R SP SP-SQ' k
R' = k = р' Rp k *
2°. Окружность (/), касающаяся (AB), (АС) и (D). В инверсии (A, AB • AC) полуокружность (AB) с центром О, полуокружность (АС) с центром К и полупрямая Cz, лежащая на прямой (D) и расположенная относительно прямой AB с той же стороны, что и указанные полуокружности, преобразуются соответственно в полупрямую Cz, в <<полукасательную» Ba в точке В к (AB) и в полуокружность (AB). Значит окружность (/) перейдет в окружность (/'), касающуюся полупрямых Cz и Ba и полуокружности (AB). Центр со' окружности (U) будет расположен, с одной стороны, на медиатрисе отрезка ВС, с другой стороны — на окружности с центром О и радиусом OL = OB + HB.
