Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
рядка: (C1) и (C2), удовлетворяющие условию вопроса. Если е == ——---, то
эти две линии совпадают. Если линии (C1) и (C2) различны, их вторые фокусы р[ и Fn являются точками пересечения с прямой (L) (являющейся геометрическим местом точек F') перпендикуляров, опущенных из F на (A1) и (A2). Пучок с вершиной /, образованный лучами (A1), (A2), (D) и перпендикуляром к (D) в точке /, гармонический, поскольку две последние прямые служат биссектрисами углов двух первых. Значит пучок с вершиной F1 образованный прямыми, перпендикулярными к указанным, также гармонический. Отсюда следует, что точки р[ и р'2 гармонически сопряжены с точками ср и ср', в которых прямая (L) пересекается с прямой, проходящей через F перпендикулярно /7Cp.
3°. Направляющие окружности (Г^) и (Г^) линий (C1) и (C2). Обе эти окружности проходят через точку ср и касаются в этой точке. Если е > 1, то (C1) и (Q*) — гиперболы; F1 и F2 расположены на прямой (L) по одну сторону от точки А и по разные стороны от ср, поэтому окружности (Pj) и (pQ касаются внешне. Если е < 1, то (C1) и (C2) — эллипсы; Р[ и F2 расположены на прямой (Z,) по ту же сторону от точки A1 что и точка ср'; значит, (р[) и (Р0 касаются внутренне. в обоих случаях ср — их центр гомотетии; значит, точка ср', будучи гармонически
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 641
сопряжена точке с? относительно точек f1 и /\» есть второй центр гомотетии
'СО - CS>
4°. Вычисление квадрата фокальной оси и эксцентриситета (С) в функции а, г и je. Приняв на прямой (L) положительное направление от А к 9, будем
иметь (2а)2 = ?е'2 = (af' — Л?)* = (л- — г)2 и (2с)2 = ff'2 = AF^ + ЛТ772 — 2Л/7 X X Л/7' cos Z. faf'. Положим 2 FAr = 2а- Если л: > 0, то Л/7' = х и ^ /чД/7' = 2а; если * < 0, то af' = \ х \ = — X и l_ faf' = т. — 2а, так, что со» faf' = — cos 2а.
В обоих случаях (2с)2 = г2 ~\~ х2 — 2rx cos 2а. Но sin а = — , откуда cos 2а = 1 —
г2_2d2 г2 — 2d2
— 2 sin2 а =--- и, следовательно, (2с)2 = г2 + х2 — 2----х. Из выра-
2 . 2 0 г2 - 2d2 С2 х* + г*-2-----X
жепий для (2а)2 и (2с)2 находим е2=-^ = -j^TTTp-----» откуда у = ?2 — 1 =
4d2 V с/2
=---;-г=-. Если X возрастает от —со до —г, то у убывает от Одо--*
г (х — г)2 ^ J г2
d2
если X возрастает от — г до г, у возрастает от — -2- до -j- 00; если х возрастает
от г до -f сс, то v убывает от -f со до 0. Уравнение, дающее х в функции 4</2
(е2—\)(х—~г)2---у-х = 0. Коэффициент при X2 равен е2 — 1, свободный член
(е2 — 1) г2. Произведение корней равно, следовательно, г2. Это показывает, что точки, имеющие абсциссами корни этого уравнения, гармонически сопряжены с точками прямой (L), с абсциссами —г и г (это выше было получено геометрически в пункте 2U).
89. Г. Построение вершин и вычисление большей оси зллипса (?). Пусть h— проекция f на (d). Вершины А и А' эллипса (e) суть точки прямой fil определенные следующими равенствами:
af IJf
е и -=г=е. (1)
АН А'Н
Построение этих точек просто (f и е даны, точка h—строится). В частном случае е == _ эти точки являются основаниями биссектрис угла g прямоугольного и равнобедренного треугольника hfg (f = 90°). Центр о эллипса (e) есть середина отрезка aa'. Вершины В и В' являются точками пересечения перпеп-
af
дикуляра, опущенного из о на fh, и окружности (f, oa). Из равенств —j-77- = е a' f
и -^7Jj = е, учитывая расположение точек А и А' относительно P и Н, находим:
af=fh7-^—, a'f= fh1-Z- откуда aa' = af+ a'f = fh (+ T-Z—) = 1 -f- е 1-е' J ' U-T^ 1 — е)
2 de sin и ~ . .,
Если длина aa = i дана, то
1-е2
, ^ 2de
что возможно тогда и только тогда, когда '<J-j--^2". Если это условие выполнено,
уравнение (2) для значений и из интервала ^0, даст лишь одно значение для а;
следовательно, существует два положения для прямой (d), симметричные относительно fi (в случае знака равенства обе эти прямые совпадают с прямой, перпендикулярной отрезку fi в точке i).
fa af
2°. Геометрическое место точек A9 А'9 О и F'. Имеем -= = -= —
fh hf
Jf fa' a7f a7J /1ч Та
= -=г и -==¦ =---= ----—--, откуда на основании (1) -=
af-ah fh fif a' f — а'Н fh
— еАН е FA' е
и —-. Из этих соотношений следует, что
— еАН—АН e+l FH е — 1
41 П. С. Моденов
642 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
точки А и А' получаются из точки H гомотетиями ^P, __?__^# так
как геометрическое место точек H есть окружность (С), описанная на FI как на диаметре, то геометрическое место точек А и А' — окружности, построенные на Fa и Fa' как на диаметрах, где Fa и Fa — отрезки, полученные из отрезка PI указанными гомотетиями. Точки А и А' являются проекциями точек ana' на FH] значит, середина О отрезка AA' есть проекция на FH середины со отрезка аа'\ поэтому геометрическое место центров О эллипса (E) есть окружность с диаметром Рсо. Наконец, фокус F' получается из точки О гомотетией (F, 2), а потому геометрическое место точек F' получается из геометрического места точек О указанной гомотетией: это, следовательно, окружность, построенная на Fy' как на диаметре, где ср' — точка, симметричная F относительно со.
