Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 293

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 287 288 289 290 291 292 < 293 > 294 295 296 297 298 299 .. 381 >> Следующая


Построение треугольника (T) по биссектрисе (v) внутреннего или внешнего угла. Напомним, что прямые АО и АН одинаково наклонены к сторонам AB и АС. Задача сводится к определению треугольника АОН, для которого данная прямая (v) является биссектрисой угла А. Пусть J—точка пересечения прямой (v) с прямой ОН [если (\>) не параллельна ОН]; обозначим через J' четвертую гармоническую к J относительно точек О и Я (черт. 218); точка А будет тогда второй точкой пересечения окружности с диаметром JJ' с прямой (v). Это построение приводит к треугольнику (T), если точка А лежит вне окружности (Fi) и не на окружности (F2) (за исключением Я). Заметим, что окружность с диаметром JJ' принадлежит так же, как и (P1), пучку (F)

окружностей, имеющих предельными точ- Чеот 218

ками точки О и Я, и рассмотрим раз- р

личные случаи расположения точки / на

прямой ОН. Если точка / лежит между точками G и H', то окружность с диаметром /У лежит внутри окружности (Fi); треугольник (T) не существует. Если / совпадает с точкой G, то /' совпадает с H'; окружность с диаметром JJ' совпадает с окружностью (F1) и, значит, точка А — точка пересечения прямой (м) с окружностью (Fi); в этом случае треугольник (T) вырождается в отрезок, если А не совпадает с точкой G, и вырождается в точку G, если прямая (\>) касается окружности (Fx) в точке G. Если точка / совпадает с точкой H', треугольник (T) снова вырождается. Если точка J лежит вне отрезка GH, но не совпадает ни с точкой Я, ни с точкой оз, то окружность с диаметром JJ' лежит вне окружности (Fi); если при этом прямая (v) наклонная к ОН, мы получаем одно решение; если же при этом (\>) перпендикулярна ОН, то точка А совпадает с точкой /, треугольник ABC равнобедренный. Если точка J совпадает с точкой Я, точка А также совпадает с точкой Я, треугольник же (T) прямоугольный, с прямым углом А; он вписан в окружность (F3), сторона ВС—диаметр окружности (F3), перпендикулярный радиусу окружности (F3), проходящему через вторую точку, общую для прямой (v) и (F3), которая может быть и отличной от Я (сделать чертеж) и совпадать с Я (сделать чертеж); в последнем случае треугольник (T) прямоугольный равнобедренный. Если точка J совпадает с точкой со, задача не имеет решений при условии, что (v) не перпендикулярна ОН; если же (\>) перпендикулярна ОН в ее середине со, то точка А — произвольная точка прямой (\>), за исключением точек пересечения прямой (v) с окружностью (F2) [для этих точек треугольник (T) вырождается]. Наконец, если прямая (\>) параллельна прямой ОН—имеется одно решение, для которого вершиной А служит точка пересечения прямой (v) с перпендикуляром, восставленным к отрезку ОН в его середине со. Итак, задача имеет единственное решение, если прямая (м) пересекает прямую ОН в точке, лежащей вне отрезка GH' (за исключением о>); в случае, если (v) перпендикулярна ОН в середине со отрезка ОН, имеется, бесконечное множество решений.

Изучение треугольника (T), для которого задан радиус R описанной окружности. Ее шины треугольника (T), для которого задан радиус R описанной окружности, лежат на окружности (О) с центром в точке О и радиусом R; сере-

дины же сторон лежат на окружности с цеьтром со радиуса -у, гомотетичной

622 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ

указанной окружности в гомотетии (g, — (на черт. 219 случай OG < R < ОН изо-

(О) {при R>0H)

бражен пунктиром). Вспомним, что на основании предыдущего, вершины треугольника (T) должны лежать вне окружности (P1) и не на окружности (Г2). Отсюда мы легко находим геометрическое место вершин треугольника (T) и огибающую

его сторон. Если R < OG1 треугольник не существует; если OG < R < OH1 то геометрическим местом вершин треугольника (Г) является дуга окружности радиуса R с центром O1 лежащая вне окружности (P1), за исключением точек пересечения этой дуги с окружностями (Г{) и (Г2); геометрическое место середин — дуга окружности радиуса R

с центром о, лежащая вне окружно-

(<*)(лри Я>0Н)

Черт. 219.

сти (Г2), за исключением точек пересечения этой дуги с окружностями (T2) и (Г6). Огибающая сторон — дуги гиперболы, имеющей OuH своими фокусами, а со — направляющей окружностью; эти дуги состоят из всей ветви гиперболы, окружающей фокус О, из двух частей другой дуги гиперболы, не содержащей ее вершины и ограниченной двумя точками, соответствующими тем касательным, на которые точка О проектируется в точки, совпадающие с точками пересечения окружностей (Г2) и (со). Если R — OH1 то геометрическое место вершин — вся окружность радиуса R с центром О [т. е. окружность (Г3)], а огибающая сторон вырождается в две точки: OuH (иначе говоря, стороны проходят через эти точки). Если R > ОН, то геометрическое место вершин — окружность радиуса R с центром в точке О; середины сторон образуют R

окружность (E) радиуса -у с центром со, а огибающая сторон — эллипс, для которого точки О и Я—фокусы, а окружность (E) — направляющая.

Изучение треугольника (Г), для которого задан угол ^ ВАС = а (0 < а < я).

Если угол ВАС треугольника (T) равен а, то (см. черт. 21Ї) АН = 2OA' = 2OA | cos а |;
Предыдущая << 1 .. 287 288 289 290 291 292 < 293 > 294 295 296 297 298 299 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed