Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
гомотетии, равным —~, окружность (T3) переходит в окружность (A)Jl прямая (X) совпадает с прямой A'H OA7H= 90°), одна из точек В или С совпадает с Н\ если, например, с точкой H совпа-
Щугольнин „, (*з) тупоувольный, Л - острый угол
Треугольник остроугольный
Угол А тупой
дает точка B1 то точка С будет второй точкой пересечения прямой (X) с окружностью (T3). Так как вершина В лежит на окружности (T3) с центром О и эта окружность описана вокруг треугольника ABC1 то угол В прямой, а гипотенузой AC является диаметр окружности (F3). Наконец, если точка А расположена на' части окружности (Г4), заключенной между (P1) и (Г3), точка А' расположена на окружности (T5) с диаметром Осо; прямая (X) проходит через точку со. Подведем итог: если точка А находится внутри окружности (Л), треугольник (T) не существует, точка А' находится внутри окружности (Г2), а прямая (X) пересекает гиперболу (H). Если точка А находится внутри окружности (Tq)1 но вне окружностей (F1) и (Г2), треугольник (T) тупоугольный, но А—угол острый, прямая (X) (т. е. ВС) пересекает гиперболу (H) и встречает прямую ОН между GnH [так как точка А' будет находиться внутри (Г4) и
Трецгольнин вырождается
прямоугольный^ Я-острый угол
Черт. 216.
(Tб) и (F2) — эта область получается в результате гомотетии
рассмат-
риваемых областей, в которых лежит точка А]. Если точка А лежит внутри окружности (Fг), то треугольник (T) тупоугольный, угол А тупой, прямая (X) пересекает гиперболу (H) (так как точка А лежит вне ее направляющей окружности) и пересекает ОН в точке, лежащей между OnG [так как точка А' лежит внутри окружности (Fg)]. Наконец, если А лежит вне окружности (Г3), то треугольник (T) остроугольный, прямая (X) пересекает гиперболу (H) и пересекает ОН в точке, лежащей вне этого отрезка ОН [так как точка А' лежит в этом случае вне окружности (Г4), в которую переходит окружность (Г3) в результате гомотетии с центром в точке G
и коэффициентом гомотетии, равным схематически на чертеже 216.
Результаты исследования приведены
620 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Построение треугольника (T) по следующим данным: прямая (ц), на которой лежит вершина Л, и точка Af, лежащая на стороне ВС (черт. 217).
Если точка А лежит на прямой ((х), то середина А' стороны ВС лежит на прямой (р/), получающейся из ((х) в результате гомотетии ^G, — > пРямая (Ц *, на
которой лежит сторона ВС, касается параболы (II) с фокусом в точке О, для которой прямая (fx) служит касательной в вершине [так как проекция А' точки О на прямую (X) лежит на (ц)]. Так как прямая (к) должна пройти через данную точку Af, то построение треугольника (T) сводится к проведению касательных к параболе (II) из точки Af; как мы видели, такая касательная определит треугольник (T), если
C2
Черт. 217.
она пересекает гиперболу (H) и не проходит через точку G. Если прямая (к), на которой лежит сторона ВС, должна пройти через точку Af, то точка А' должна быть расположена на окружности (7) с диаметром OM (так как OA'M = 90°), а значит точка А должна лежать на окружности (Г), полученной из (7) в результате гомотетии (G, —2). Но точка А должна лежать и на прямой (jx); следовательно, построение треугольника (T) сводится к отысканию точек пересечения прямой ((л) с окружностью (Г). Точка А пересечения прямой (jx) с окружностью {Г) определит треугольник (T), если эта точка расположена вне окружности (T1) и не ка окружности (T2) (за исключением Н). Пусть прямая (jx) фиксирована. Исследуем при этом построение треугольника (T), привлекая к исследованию гиперболу (H) и параболу (II). Если Al лежит внутри параболы (П), задача не имеет решения. Если точка Af лежит на параболе (П), то существует касательная к параболе (II) в точке Af; следовательно, если точка Af лежит на параболе (II) и внутри гиперболы (H), задача имеет одно решение. Если точка M лежит на параболе (II) и вне гиперболы (H), имеется одно решение или ни одного в соответствии с тем, пересекает или нет касательная к параболе (П) в точке M гиперболу (H) или нет. Если точка M лежит вне параболы (II), существуют две касательные к ней, прохо-дящие через точку М. Следовательно, если точка Af лежит вне параболы (II) и внутри гиперболы (H), имеется два решения, если же точка M лежит и вне пара-
* Здесь спрямой (Х)змыназываем прямую, проходящую через А' перпендикулярно OA'.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 621
болы (П) и вне гиперболы (H), то существуют два, одно или ни одного решения в зависимости от того, пересекают ли гиперболу (H) две, одна или ни одна из этих касательных. В частности, если прямая ((а) проходит через точку Я, то прямая^') проходит через точку О и, значит, прямая (к) есть перпендикуляр, опущенный из точки M на прямую ((а'). Таким образом, задача имеет одно или ни одного решения в зависимости от того, пересекает или нет прямая (к) гиперболу (H). Проведем исследование числа решений, считая фиксированной точку М; проведем в этом случае элементарное исследование. Если точка M фиксирована, то окружность (F) известна. Если прямая ((а) не пересекает окружность (P1), то имеются два, одно или ни одного решения в зависимости от того — пересекает, касается или не пересекает прямая (ja) окружность (F). Если прямая (ja) касается окружности (Fі), имеется два решения; если она пересекает (F) в двух точках, отличных от точек касания с окружностью (P1), то одно решение, при условии, что одна из точек пересечения ((a) и (F) совпадает с точкой касания ((а) и (Fі); если ([а) касается(Г), имеется одно решение, при условии, что при этом (F) не касается (ja) в той же точке, в которой ((а) касается (Л); наконец, если (а пересекает (P1), имеется два решения, одно или ни одного в соответствии с тем, что ((а) пересекает, касается или не пересекает • (F), и в соответствии с тем. будут ли эти точки внутренними или внешними по отношению к окружности (Г{).
