Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 291

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 285 286 287 288 289 290 < 291 > 292 293 294 295 296 297 .. 381 >> Следующая


76. Зная,ортоцентр Я треугольника (Г) и центр круга, описанного вокруг этого треугольника, можно построить центр тяжести (точку пересечения медиан) G и центр со

окружности Эйлера: OG= \ ОН, Осо— — ОН.

Г. Геометрическое место вершин треугольника (Г). Пусть А — произвольная вершина треугольника (T); середина А' противоположной стороны ВС есть образ точки А в гомотетии с центром G и коэффициентом гомотетии, равным —. Прямая (к), на

которой лежит сторона ВС, перпендикулярна OA' в точке А'; вершины В и С суть точки Черт. 214.

пересечения прямой (к) с окружностью, описанной вокруг треугольника ЛВС. Имеем OA'< ОA1 откуда АН< 20А (так как АН

АН = 20Л') или < 2; значит, точка А лежит вяе окружности Апполония, для любой точки M которой отношение MH к МО равно 2; это окружность (P1), построенная на H'G как на диаметре, где H' — точка, симметричная точке H относительно точки О. Далее, OA' не перпендикулярна A'G (в противном случае точки А, В и С лежали бы на одной прямой); значит, ?OA'G = /_HAG не прямой и точка А не лежит на окружности (Г2), построенной на GH как на диаметре. Указанные необходимые признаки ограничения расположения вершины А треугольника (T) и достаточны в том смысле, что если точка А лежит вне круга (Д) и не на окружности (Г2), то существует треугольник (T)1 у которого А — вершина. Итак, геометрическое место вершин треугольников (T) есть часть плоскости, которую мы получим, удаляя из нее круг (P1) и окружлость (Г2) (черт. 214).

61В Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ

Геометрическое место вершин тупых углов. Треугольник (T) будет тупоугольный, если ортоцентр H лежит вне окружности, описанной вокруг него, и обратно, т. е. если OA < ОН; иначе говоря, точка А должна лежать внутри окружности (Г3) с центром в точке О и радиусом ОН. Итак, геометрическое место вершин тупоугольных треугольников есть часть плоскости, заключенная между окружностями (T1) и (Г3), за исключением точек окружности (Г2). Угол А будет при этом тупым тогда и только тогда, когда медиана AA' будет меньше половины A В стороны ВС, т. е.

А'А < А'В или А'А2 < А'В2; но AAr = |- ~AG, ~ОА' = ~ АН, А'В2 = OA2 — OA'2 =

= OA2-

1

АН2; значит,

4- AG2 < OA2-А

j АН2, или

9AG2 <ЮА2 — АН2.

(1)

С другой стороны, применяя теорему Стюарта * к треугольнику AOH и к секущей AG, будем иметь OA2- GH- AG2 -~ GH+ АН2 ^GH—GH-^GH-^ GH=O,

откуда AOA2 = 6AG2 — 2AH2 + 3GH2. Отсюда и из (1) находим АН2 + AG2 < GH2; значит, точка А лежит внутри круга (Г2). Обратно: если точка А лежит внутри

круга (Г2), то, повторяя выкладки в обратном порядке, мы получим, что AA' < А'В, т. е. угол А* тупой. Итак, геометрическое место вершин А тупых углов треугольника — внутренность круга (Г2).

Изучение прямых (X). Рассмотрим произвольную прямую (X) плоскости, на которой расположена сторона ВС треугольника (T) (черт. 215). Ортогональная проекция точки О на прямую (X) есть середина А' стороны ВС. Вершина А получается из А' в результате гомотетии с центром G и коэффициентом гомотетии, равным —2. Точки В и С суть точки пересечения прямой (X) с окружностью с центром О и радиусом OA. Имеем: OA' < OA или OA' < 2ыА' (OA и (лА'). Значит, точка А' должна лежать вне окружности (T2) с диаметром GH. Отметим еще, что (X) не проходит через точку G, так как в противном случае (X) как прямая, проходящая через точку А', сов-„ > падала бы с прямой A'G, на которой лежит и

вершина А. Указанные необходимые признаки (X) достаточны. Таким образом, все прямые (X) — это такие прямые, для которых ортогональные проекции на них точки О лежат вне окружности (Г2). Пусть теперь на плоскости задана точка M и ставится вопрос о том, какие прямые, проходящие через М, будут (Х)-прямые. Заметим сначала, что геометрическое место проекций точки О на прямые, проходящие через точку М, есть окружность (*[), для которой OM является диаметром. Значит (Х)-прямые, проходящие через М, — это суть те и только те прямые, которые соединяют точку M с точками дуги а окружности (ї), лежащими вне (Г2), за исключением прямой MG. Если точки пересечения окружностей (7) и (T2) мы обозначим через а и а' (конечно, если эти окружности пересекаются), то прямые Ma и Ma' будут касательными к гиперболе (H) с фокусом О, для которой окружность (T2) является главной, т. е. окружностью с центром в центре гиперболы и

Черт. 215.

* Теорема Стюарта: если P — произвольная точка, лежащая на стороне ВС треугольника ABC, то

PC-AB2+ BP-AC2 — AP2 - ВС — BP-PC- BC = O. (а)

Доказательство. Пусть H—проекция точки А на ВС. Тогда из треугольников ABP и ACP находим:

AB2 = AP2 + BP2 — 2PB -РН, AC2 = AP2 + CP2 —2PC - PH.

Умножая первое из этих равенств на PC, а второе — на BP и складывая, мы и получим соотношение (а), так как

ВР2 .рс + CP2 • BP = BP2 -PC + PC2 •BP =»

= BP-PC (BP+ PC) = BP- PC - ВС,

а последние члены уничтожаются в силу

VB-PH-PC+ PC-PH-BP = PH-PC(PB + BP) = O.

Ответы. Планиметрия. Гл. XX, КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 619

радиусом, равным половие ее действительной оси. Известно, что прямая пересекает гиперболу, если проекция ее фокуса на эту прямую лежит вне главной окружности, не пересекает, если эта точка лежит внутри главной окружности и касается ее при условии* что проекция лежит на главной окружности. Таким образом, (Х)-прямые, проходящие через точку M1— это те прямые, которые пересекают гиперболу (H)1 за исключением прямой MQ. Значит, для того чтобы все прямые, проходящие через точку M1 пересекали гиперболу (H)1 т. е. чтобы все они были (Х)-прямыми, необходимо и достаточно, чтобы точка M была бы внутренней точкой гиперболы (H) (прямая MQ исключается). Рассмотрим еще несколько частных случаев: если А лежит на окружности (Л), но не совпадает с точками G и H', то точка А' располагается на окружности (F2) так, что OA = ОА'\ значит, точки В и С совпадают с точкой А' и треугольник (T) вырождается в отрезок ААГ\ в этом случае прямая (X) касается гиперболы (H). Если А совпадает с точкой G1 то с этой точкой совпадает и точка А'так же как и точки В и С, поэтому треугольник (T) вырождается в точку G; прямая (X) — касательная к гиперболе в точке G. Если А совпадает с точкой то точка Аг совпадает с точкой H1 точки В и С также совпадают с точкой H и треугольник (T) вырождается в отрезок НН\ прямая (X) — касательная к гиперболе (H) в точке Н. Если А расположена на окружности (F2), но не совпадает с H1 то OA' J_ AAr (ибо Z OA'G = ^ GAH = 90°). В этом случае одна из точек В или С совпадает с A1 другая симметрична А относительно А'\ треугольник (T) вырождается в отрезок AA'\ прямая (X) пересекает гиперболу (H) и проходит через точку G. Если А совпадает с точкой H1 то А' совпадает с точкой О и всякий диаметр круга (T3) есть сторона ВС [треугольник (T) — прямоугольный, угол А — прямой, гипотенуза — произвольный диаметр (T3)]; прямая (X) проходит через фокус О гиперболы (H) и пересекает эту гиперболу. Если А расположена на окружности (Г3), А' располагается на окружности (Г4) с диаметром ОН ?так как при гомотетии с центром G и коэффициентом
Предыдущая << 1 .. 285 286 287 288 289 290 < 291 > 292 293 294 295 296 297 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed