Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
X (mod 2тс); отсюда PPx = — 2MM1 и, значит, IP =
= —21M1 т. е. QQ' есть прямая (А), ассоциированная с точкой /.
2°. Прямые (А)» проходящие через данную точку Q прямой (Ai). Рассмотрим (черт. 212) прямую (Ai), ассоциированную с окружностью (С) и точкой / и пересекающую (С) в точках Mx и P1. Проведем через точку P1 прямую (A1)J-(A1). Возьмем на прямой (A1) произвольную точку Q. Прямая, проходящая через точку Q, на основании п. 1°, б) будет прямой (А), если она пересечет (A1) в точке Q' и (С) в точке M так, что M будет серединой отрезка QQ'. Геометрическое место середин отрезков, исходящих из Q и имеющих вторую граничную точку на (A1), есть медиатриса отрезка QP1. Пусть M2 и Af3 — пересечения (если они существуют) этой медиатрисы с (С). Искомые прямые (A2) и (A3) суть QAf2 и QAf3. Если медиатриса отрезка QP1 заключена между касательными к (C)1 перпендикулярными к (A1), имеется две прямые: (A2) и (A3); если она вне, то таких прямых не существует. Прямые существуют, если точка Q лежит на отрезке DE1 где D и E — точки, симметричные P1 по отношению к касательным к (С), в концах due диаметра (С), параллельного (A1). Если Q совпадает с D или Е, прямая (А) совпадает соответственно с Dd и Ее. Эти прямые пересекаются в точке (С) под прямым углом, так
Черт. 212.
как их* направления симметричны ортогональным Вычисление суммы aj-fa2 + a3. Построение прямых (A2) и (A3) показывает, что точки AJ2 и M3 — окончания дуг а2 и Ct3 — симметричны относительно диаметра (C)1 параллельного (A1); значит,
направлениям S1
Рхе и Pxd.
P1Af1;
Ct2 -J- а3 = 2Id (mod 2тс). Пусть /—середина
тогда 2If= /Af1-J- JPi = — ai (mod 2тс), а так как
fd = --| (mod тс), то 2fd^2Td—2ff==ax-\-a.2+az (mod 2тс).
Итак, ах -f- а2 -{- Gt3 = тс (mod 2тс). Сумма a2-f-a3
постоянна, если Q описывает (A1), и даже не зависит от выбора (A1).
Прямые (A2) и (A3), для которых OC1 + «2 + 4- a3 = я; (Ai) — задана. Пусть прямая (A1) задана и ей соответствует дуга ах. На основании предыдущего:
— 2Tf= аь а так как 2Id — 2Tf = 2fd = г. (mod тс), то
2Id = тс — <хх = ct2 -f- а3. Отсюда следует, что точки Af2 и Af3 симметричны относительно диаметра (C)1 параллельного (Aj), и соответствующие прямые (A2) и (A3), симметричные PjAf2 и P1Al3 относительно Л42А13, пересекаются в точке Q прямой (A1).
3°. а) Точка АХу симметричная H относительно ВС. Угол между прямыми HB и HC1 соответственно перпендикулярными AC и AB1 равен углу между этими последними (черт. 213): (HB, HC) = (AC1 AB) (mod тс). Симметрия относительно ВС дает (AxB1 AxC) = — (HB1 HC) = (AB1 AC) (mod т), откуда и следует, что точка Ax лежит на окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
Точки С\ U9 В лежат на одной прямой. Соединим ScAnC Точки 5, A, B1 С лежат на одной окружности (Г); следовательно, (SC, SA) = (ВС, BA) (mod тс).
Черт. 213.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 617
Прямые SU и SC соответственно перпендикулярны ВС и BA; значит, (SU, SC) = = (ВС, BA) (mod тс). Отсюда следует, что (SC1 SA) = (SU1 SC) (mod тс), и, отнимая от обеих частей по (SU, SA), получим (SC1 SU) = (SAf SC) (mod тс). Так как точки S, С, U, В' лежат на одной окружности с диаметром SC, то (SC, SU) = = (В'С, В'U) (mod iz). Аналогично, четыре точки S, В', А, С лежат на одной окружности с диаметром AS; значит, (SA1 SC) = (B'А, В'С) (mod тс). Таким образом, (В'С, В'U) = (B'A1 В'С) (mod тс), откуда и следует, что точки В', U, C1 лежат на одной прямой.
Параллелизм S'А и B'UC. Точки A1 S, C1 S' лежат на окружности (Г). Значит (AC1 AS') = (SC1 SS') (mod тс). Но мы видели, что угол (SC, SS') или (SC1 SU) равен (В'С, B'U), значит, (AC, AS') = (В'С, В'U) (mod к), откуда и следует, что S'A\\B'UC.
Симметрия .9 относительно сторон треугольника. Точки .S0, Sb, Sc, симметричные 5 относительно ВС, CA и AB, гомотетичны точкам U1 В', С' в гомотетии (S1 2) и, значит, лежат на прямой, гомотетичной UB'С, т. е. SnSbScWUB'С. Соединим S' с ^1. Трапеция ASS'A1 равнобедренная; значит, (SA1, SS') = = (S'S, S'A) (mod тс) или, так как S'A\\SaSbSc, то (SA1, SS') = (SaS, SaSb) (mod тс). Так как S и S0 симметричны относительно ВС, то прямые SA1 и SaSbSc так же симметричны относительно ВС; следовательно, прямая SaSbSc проходит через ортоцентр Н.
б) Прямые UV образуют семейство (А). Соединим HcSu пусть M — точка пересечения HS с B'UC. Мы видели, что M — середина HS; следовательно, M
— середина UV, поскольку AH\\SU. Далее, HM = HS и, значит, точка M лежит
на окружности (С) девяти точек треугольника ABC, которая проходит через основание К высоты АН. Мы возвращаемся к п. 2е: ВС и AK — две взаимно-перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке К окружности (С); прямые UV таковы, что середина M отрезка UV лежит на (С); они, следовательно, образуют семейство (А) по отношению к (С) и точке / этой окружности такой, что
IK = — 21а, где а — середина ВС. Отсюда ясно, что AK и ВС составляют пару взаимно-перпендикулярных прямых (А) и что каждая высота треугольника вместе с соответствующей ей стороной также образует такую пару; в самом деле, середина любой из сторон AC и AB треугольника ABC лежит на окружности Эйлера, а концы этих отрезков AC и AB лежат на взаимно-перпендикулярных прямых AK и ВС (аналогично — середины BH и CH лежат на окружности Эйлера). Итак, все три стороны и все высоты треугольника ABC входят в семейство прямых (А), ассоциированных с окружностью девяти точек треугольника ABC.
