Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
17. л: + у = а, X3 + У = ft (х2 + у2).
ia** * + :У — 2а x~-v — 2Ь
10 ' 1+ху—1 + 1 — ху ~ 1 + б2'
где 1+а2=?0, l+ft2=?0.
1У" JC 1+у2 ~ ХЗ 1+y?
§ 7. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными
Решить следующие системы уравнений:
1. х+у = 3г, х2 + у2 = 5<г, х3 + у3 = 9г.
2. x + y + z=13, х2 + у2 + 22 = 91, у2 = х2.
3. X2 + у2 = z2, уг + гдг + яу = 47, (г — х) (2: — у) = 2.
4. xy+yz=- 229, y2 + zx = 255, zx + ху = 196.
5. х + у + г = х2 + у2+г2 = х3 + у3+^3 = 1.
6. * + у+* = 0. х2 + у2 — ^2= 20, х4 + у4 — z4 = 560. T-
7. (1+х)(1 +у) = 2у*, (1+у)(1+*) = 2**, (1+г)(х + у) = г2-2ху. 8*. х(1+у) = г2(1+х), у(1+г) = х2(1+у), 2(1+г) = У2О+*).
§ 7. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ 79
9. х + ху + у=1, y+yz+z = 2t z + zx + x = 3.
10. X2 -\~yz = y-\-zt y2 + xz = x + z, z2 + xy = x + y.
11. X — y2 — yz — z = 0, X — у — у2 — z2 = 0, X + у— у3 — z = 0. 12**. (X + 2y)(X + 2z) = — 16, (у +2x)(у + 2z) = 8.(*-+-2x)(z+ 2y) = ~ 13**. xy (X + y) +yz (y + z) + z X (z + X) = 4,
лгу (л:2 + У2) + Уz (у2 + z2) + zx (X2 + z2) = — 2,
xy+yz + zx =-1.
14. ху = 2, (З — y)z = З, (2 — х) (4 — z) = 1.
15*. *2(x+l)+y2(y+l) = f, x2(x-\)+y2(y-l) = -^.
16*. (x+y)(x+z) = x, (3,+z)(y + x) = 2y, (z + x)(z+y) = 3z. 17. X+у+Z = Q9 3x2 + 3z2 — 5xyz = 0, 2х3 + 2у3 + 3xyz = 0. 18*. X2 + у2 — z2 = (х +у — Z)2 + 2,
X3 + У3 — z3 = (X + у — г)3 -1-9,
X4 + у* — z4 = (X +у — zf + 29. 19. х2 + 4ху + 6у2 = 11, x2 + 4xz+12z2 = 9, y2 + 3yz + 2z2 = 0. 20*. х2 + ху + у2 = 37, X2 + xz+z2 = 28, у2 + yz + z2 = 19.
21. x+y+z = 2, x2 + y2+z2 = 6, X3 +у3 +z3 = 8.
22. (х + у)(1 +Z)= 12, (X2+у2) (1 +z2) = 50, (х3+у3)(1 +z)3 = 252.
23. 1 + 1+1 = ^+^+^ = .1, ^= і.
24. -?- = 5, -^ = 3, -^-- = 4. Х + У Х+2Г .У + ^
25. -4— = —, У . т =—г~—т = х + y+z.
y + Z X + у + 1 X + у — 1 1^1
26.
31
2 . і і j_ ,__і_j_ , і і
x^y + z"- 2' у ' z + x~^3' z^ х + у~~'4*
27*. y + z = -1-, z+ X = -1-, л:+у = -1-,
1 xyz 1 xyz 1 -xyz
28. x+y = \y y + z = !-, 2 + x = l.
29. ^(х + 1) = ^у+^ = ^9 x+y + z=l5.
30. 1 + 1 + 1 = ^ + ^ + 2 = y, xyz= I.
\(x + y+z)=j(y + z — x)=~(z + x — y) = ^ xyz.
32. 3,з + 2з = 7л:з> ^+2 — 3X = O, x+y — z = 0.
33. 6x (y2 + z2) = 13yz, 3y (X2 + z2) = 5xz, 6z (x2 + y2) = oxy.
34. xy +xz = X2+ 2, xy + yz = y2 + 3, xz + yz = z2 + 4.
35. xyz = 2 (yz + zx+yx), Зх уz = 2 (yz — xy — xz), 3xz = 2 (x +z).
36**. 6 (y2z2 +z2x2 + x2y2) — 49xyz = 0,
6y(x2 —z2) + 5xz = 0, 2z(x2 — y2) — 9xy = 0.
80 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
37**. х3 + у3 — z3 — xyz = — 4,
х3 — у3 + z3 — xyz = 8, — х3 + У3 + х3 — xyz = — 2.
38. 4 + 1+1 = 2 + 4 + 1 = .2
2 1 у ' z лг'З'-г л: 1 у 1 4
39. х — j/ = 2, х? — у — и = 7, хг2 — J/ — 2а = 22, xz3 ~ у — Su = 57. 40*. х2 + у2 + ,г2 + гг2 = 5, *у2й=1, х2 (yz + zu + уи) = Зх — 1,
х3(у + ,г + а) = х(2х — 3)+ 1.
4|в xyzt; _ 1 _^К?_ = 2 -*угР = 3 хугХ) = 6
лг + у + г ' х-f-у + и ' x + z + t; ' г + и + у
42. 1—X1X2 = O, 1—X2X3 = O, 1—X3X4 = O,..., 1—X14X15 = O.
43**. уП + гП=1±± Zn + xn = C_+_^ Xn+yn=<L±l
1 xyz 1 xyz 1 ^ xyz
где a > 0, ft > 0, с > 0, a /i — целое положительное число, большее 1.
44**. хх(х2 + х3 + ... +xj+1 . 2(х, + х2 + ... + хп)2 = 9а2,
*і(*і + *з + ... +^) + 2.3(^ + ?+ ... + x„)2 = 25a2,
хп(хх + х2 + ... +хп^1) + п(п-\)(х1 + х2+ ... + xj2 = (2^+1)2 а\
§ 8. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными,
содержащие параметры
Решить следующие системы уравнений:
1. ху + XZ = a2, yz + yx = b2, zx+zy = с2.
2. х2 + (у — z)2 = a, y2 + (z — xf = b, z2 + (x — y)2 = c.
3. -Щ-=а, ^- = b,
y + z z + x x + y
4. yz + zx + xy = a2 — X2 = ft2 — y2 = c2 — z2.
5. X (x + y + z) = a, y(x + y + z) = b, z(x + y + z) = c.
6. xyz = a (yz — zx — xy) = ft (zx — xy — yz) = с (xy — yz — zx), где а Ф 0, ft Ф 0, с 0.
7.
(y+z)(x + y + z) = a2, (z + x)(x + y + z) = b2, (x + y) (x + y f z) = c2.
8. x + y + z = 0, X — y + ? = a, —------- = ft.
1 s 1 ^ 1 x у г
где пик — целые положительные числа, а Ф 0, b Ф 0, с Ф 0.
10. 1 + 1 + 1= * axs = bys = cs*t
a^=0, ft 0, с ^ 0, d^=0.
11. (1 +х2)(1 +у2)(1 + .г2) = (1 —а)2,
yz + zx + ху = а, X + у + Z = bxyz.
§ 7. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
12. хф- уф-г = а, х2ф-у2ф-г2 = а2ф-2Ь2, х3 +j/3+г3 = а3. 13**. ^ = -*?=-?= 1. афО, ЬфО, сфО.
t А , yz _ be і zx _ ас і_ ху _ ab
14- x-T-y + z — ь~ф~с' y^7+J~~~J~+c' Z~^~x~TJ-~a~+Ti
где аф 0, й ^ 0, с Ф 0, а + ? 0, 6 + с О, сф-аф О.
15. л:3-+-у+ 3x(x+ 1) + 33/(3;-+- 1) = сш y" + z3 + Ъy(y+-\)ф-2>z(zф-\) = a,
