Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
степень точки / относительно (Q) равна /Q2 — Mil2 = OM2 — OP = OA2. Отсюда следует, что окружность (Q) остается ортогональной к окружности с центром / и
радиусом IA, т. е. к окружности (Г). Так как 0I = QH, то OQ ЦIH; радикальная ось (Д) окружностей (О) и (Q) перпендикулярна линии их центров и, следовательно, перпендикулярна IH. Аналогично — так как 1Ox = MQ, то QO\]\IM; радикальная ось (Aj) окружностей (Oi) и (Q) перпендикулярна линии O1Q их центров и, следовательно, перпендикулярна IM. Обозначим через / точку пересечения радикальных осей (А) и (Ai). Так как (M) — точка, лежащая на (А), то (А) — высота на сторону IH треугольника IMH Точно так же H—точка, лежащая на (A1); значит, (A1) — высота на сторону IM в том же треугольнике IMH. Но AB — высота на
Ответы, Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 616
сторону MH; значит, / лежит на AB. Это видно и из того, что / есть радикальный центр окружностей (Q), (О) и (Oi). Мы видим, что / есть ортоцентр треугольника МІН. Пусть а — вторая точка, общая (О) и (Q); это основание высоты (Д) на IH. Четыре точки H1 т, J1 а расположены на одной окружности; значит, Tm -Tl=ТВ• Та = ТА2; значит, / гармонически сопряжена с т по отношению к А и В. Так как т описывает отрезок т'т" прямой AB1 то точка / описывает геометрическое место точек, гармонически сопряженных относительно точек А и В со всеми точками отрезка т'т".
Огибаюіцая (Д) и (A1). Проекция а фиксированной точки / на (Д) описывает окружность (О); значит, огибающая (Д) есть эллипс (#), для которого /—фокус, a (U) — главная окружность; аналогично вторая точка ?, общая (A1) и (O1), есть ортогональная проекция фиксированной точки / на (A1). Эта точка ? описывает окружность (Oj); значит, огибающая прямых (A1) есть эллипс (ех) с фокусом / и соответствующей ему главной окружностью (O1); заметим, что эти эллипсы симметричны относительно AB.
75. Г. а) Число прямых (Д), проходящих через данную точку окружности (С). Рассмотрим данную точку ориентированной окружности (C)1 определяемую криволинейной абсциссой a (mod 2тс). Если хМЫ эту точку примем за точку M1 то ей будет соответствовать одна и
только одна точка P такая, что IP = — 2IM,
ибо IP = — 2а (mod 4я). Но если мы примем эту точку за точку P1 то ей будут соответствовать две точки M такие, что IP = — 2IM1 так как IM = — ~ (mod г*). Следовательно, через эту точку проходят три прямые (Д). Заметим, что две последние из них взаимно-перпендикулярны, поскольку они соединяют точку окружности (С) с двумя ее диаметрально противоположными точками.
Геометрическое место точек пересечения двух ортогональных прямых (Д). Рассмотрим (черт. 211) две прямые (A): PM и PxM1. Черт. 211.
Имеемі IP = — 2IM1 Tp1 = — 2IMx; следовательно, PPx= —2MMx, поэтому (MxP1 MxPx) = (PMx, PM) + (QM9 QMx) (mod п) откуда (QM1 QMx) = (PM11 PM) (mod тс); отсюда следует, что прямые PM й PxMx ортогональны тогда и только тогда, когда M и M1 — две диаметрально противоположные точки (C)1 а потому эти прямые пересекаются в точке, лежащей на окружности (С). На основании замечания, сделанного в начале, заключаем, что геометрическим местом точек пересечения двух взаимно-перпендикулярных прямых (А) является вся окружность (С).
Прямые (Д), касательные к (С). Прямая (А) касается (C)1 если точки M и P
совпадают, т. е. PM = O (mod 2тс), а так как PM = 3IM1 то IM = О (mod Мы
видим, что имеется три точки M окружности (С) такие, что (А) касается (С); это
w 2п 2к
точки InJ такие, что //== — , и точка К такая, что IK =--. Эти три точки
о о
образуют равносторонний треугольник с вершиной /, вписанный в окружность (С);
соответствующие прямые (А) — касательные к (С) в точках /, /, К.
Замена / на / на ЛГ. (А) определяется соотношением IP = — 2/M (mod 2тс)
или IJ + JP = — 2 (U + JAi) (mod 2к), откуда JP = — 2JM (mod 2я). Прямая (Д) определена по отношению к / так же, как и по отношению к / (аналогично и для К)я б) M—середина QQ'. Рассмотрим две ортогональные прямые: (A1) и (A1), пересекающиеся в точке P1 окружности (С). Пусть (Д) — какая-нибудь прямая, пересекающая (A1)H(A1) соответственно в точках Q и Q'. Имеем (PxMx, PxM)^-
= (PM11 PM)(mod-). На основании п. 1° имеем (PM11 PM) = (QM1 QMx) (mod тс); следовательно, (PxM11 PxM) = (QM1 QM1) (mod п). Треугольник P1AfQ равнобедренный, атак как APiQQ' прямоугольный, то PxM.— медиана, относящаяся к гипотенузе QQ', a QQ' есть прямая (А). Обратно. Рассмотрим ортогональные прямые P1Al1 и P1Af1, проходящие через точку P1 окружности (C)1 и пусть прямая PAf
біб Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
пересекает P1Af1 и PxM1 в точках QhQ' таких, что середина M отрезка QQ' лежит на (С). На основании п. Г, а) существует равносторонний треугольник IJK такой, что PiM1 (и значит P1AI1) суть прямые (А). Возьмем одну из его вершин /.
Будем иметь IPx = — 2IM1. Треугольник PxQQ'
прямоугольный (P = 90°), PxM — его медиана; треугольник PxMQ равнобедренный и, следовательно, (PxMx, PxM) = (QM, QMx)(mod тс). Обозначим через P вторую точку пересечения QQ' с (С). Тогда (PxMx, PxM) = (PMx, PM)(mod тс), (PM1, PM) = (QM, QMx); следовательно, (MxP, MxPx) = (PMx, PM) + (PM, MxPx) = = (PMx, PM) + (QM, QMx) = 2 (PMx, PM) X
