Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
х-+Рхф-д = 0
не может иметь рациональных корней, если р и q — целые нечетные числа. 61*. Дано уравнение
л*4 — 7х34- 1 = 0.
Не решая его, составить уравнение третьей степени, корни которого были бы квадратами корней данного уравнения. Имеет ли данное уравнение мнимые корни?
62. Вопрос предыдущей задачи для уравнения
хь _|_ хъ + Х2 2х 4- з = 0.
Решить также вопрос: имеет ли это уравнение мнимые корни?
63. Составить уравнение, корни которого равны кубам корней уравнения
X3 4~ рх ф- q — 0.
64* ф. Составить уравнение (шестой степени), корни которого равны X1-J-X2. X1 4- х3, X1-J-X4, х24- *з. х2 4- х4, X3-J-X4, где X1, X2. х3. X4 — корни уравнения
X4-f X3 — 1 =0.
70 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
65. Составить уравнение третьей степени, корни которого равны х2х3, X3X1, X1X2, где X1, х2, X3 — корни уравнения
X3 + 2х — 1 =0.
66. Составить уравнение третьей степени, корни которого
X1 X2 X3
— Xi + X2 + X3 ' X1-X2 -|- X3 ' X1 + X2—" хл'
где X1, х2, X3 — корни уравнения х3 — х2 — 3 = 0.
67. Доказать, что если X1, х2, X3 — корни уравнения
X3 + рх ~\~q = 0,
то
X2 + X2X3 + X2 = X2 + X3X1 + X2 = X2 H- X1X2 + X2.
68. При каком условии уравнение
X5 +pxl~{ q = 0
имеет двойной корень?
69. При каком значении а уравнение
Зх4 + 4х3 — бх2 — 12х + X = O
имеет кратный корень. Каков этот корень и какова его кратность?
70. При каких значениях а, о, с уравнение
хб + ах4 + 1Ox3 + Ьх + с = 0
имеет корень кратности 4?
71. Стороны треугольника служат корнями уравнения
x*~\-px2-\-qx ff = 0.
Доказать, что р2 > Aq.
72. Один из корней уравнения
X3 — бх2 -{- ах -- 6 = 0
равен 3. Решить уравнение!
73. Числа ol и ? (а Ф (3) являются корнями уравнения
X3 -j- р X 4 q = 0 и удовлетворяют равенству ot? —|- а — 0.
Найти соотношение между р и q и выразить третий корень через се и ?.
74. Уравнения
X3 4 P1X 4- ^1 = о, X34 р2х 4 ^2 = о,
где P1 Ф р2 имеют общий корень. Найти этот корень, а также остальные корни обоих уравнений.
75. Определить коэффициенты р и q так, чтобы многочлен
бх4 — 7х3 -4 рх2 4- Зх -4- 2
делился бы без остатка на х2 — x-\-q.
76. Решить уравнение
xin — Axn— 1 =0,
где п—'Целое положительное число.
77. Решить уравнение
..П ~~.,/7_1 ft (ft 1) о «о - А
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
71
Решить уравнения:
78*. CK+iy1—(х -1)л = 0.
79*. (X + if — (х — if = 0.
80*. [Y-Ix') ^ cos ср + /sin ср.
81*. i-^ + ^zR- ... +(_!)«JLiflliL^^
82**. cos ср + C\ cos (ср + a) x + C« cos (<p + 2a) x2 + ....
... +C^cos(cp + /ia)x" = 0, 0<cp<~.
83. Доказать, что все корни уравнения
a (X — bf + с (х — df = 0,
где а, с, d — комплексные числа, расположены или на окружности, или на прямой (числу a-\-iv, где и и v действительны, ставим в соответствие точку с координатами U1 v).
§ 3. Рациональные уравнения с одним неизвестным
Решить следующие уравнения:
1 _2___1__, х-4
1в х2 —4 х(х — 2)^ х(х + 2) Vt
2. 3.
1,2,3 6
X — 1 ' X — 2 ' х — З X — 6' 1 , 11 9 , 10
х—\ 1 х—ХХ 9-х ] х — ХО
9~ '
к* v2 I__±_ - 1
6.
х* — х + 1 9 X — 1
- 1 , _1__,__1__,_1__п
х — 8 ~^ х — 6 х + 6 ~* х + 8 '
9. 10. 11.
5 4
I 21
5
! 4I 21
: — 1 1
1 х — 3
х+1
1 х—2 1 х+3
2
I 5 -
3
+ 4 -
X + 8
1 X + 9
X+ 15
г х + 6 "
х—1
х — 2
X — 3
х —4
х + 1
х + 2
~ х + 3
х + 4 *
х+1 ,
X-I 1
х — 2 .
х + 2 1
х — 3 . х + 3 1
* + !_4 х —4
IQj}; ^4 12 | ^
Хі ' х* — 2х ^ *2-;е ~1~х ~~Х-
13*. ,If =0,088.
14. x(x + 4)+l(J_ + 4) = 0.
4 + ^°(т+)-
15
72 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
i? _L j__j__і__і__і__L_ —_1I1i__L і
19
21*. 22*. 23*. 24**.
x-\-2 • x + 5 г x + 7 a-+1 Ti-f3 ' jc-j-4 ' a-f6
25*2 74
17. xJ +
18.
(5 + 2x)2 — 69 x* + 3 26
(a:+ 3)3 — 343 " +[Ox+ 15 _ 3x
jc2 _ 6* + 15 jt« — Sx + 15"
20. ^OT = S-
(*? + *+ 1)? 49
(х+\)Цх*+\) ~ 45
(jc2 + l)2 __625 X(a'+ 1)2" — 112 '
(a-I)2a 2
~(x2 — a + 1)'- ~ 9 *
a2 + 36
¦36
Xf 6 ( x — 4 X2 X —6 / A + 9 \2 _9 A2 -^ — 0^ + 4/ і * + 6 \ Jt — 9 J ~~" A2 -
Hx
— 6
~ 6x-
-11 *
133x
— 78
133-
-78x
257a*
— 68
or* 1 (*+1)(л--3) і 1 (Jf+ 3)(.?-5) 2 (x+5)(x-7) _92_ -4° • 5 (.« + 2)(^-4)^9 (x + 4)(x —6) 13 (x + 6)(ж — 8) — 585
3.(^+^f)+3ro = 29(i^+»?±»).
27.
28*. x5 =
OQ* r« — _____________
iV ' 68x2 — 257 "
oft (x*- + I) (*+!)* + ** _ , J_
. JC2 "+ I)+I - — X "Г x •
31. ¦ *.+ _!_ = б(ж + -|-).
§ 4. Рациональные уравнения с одним неизвестным, содержащие параметры
Найти все значения а, при которых следующие уравнения будут неэквивалентны:
1. &±2±=*ll?L и (а2 + 2х)(х + а) = (х — а)2.