Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 26

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 381 >> Следующая


х-+Рхф-д = 0

не может иметь рациональных корней, если р и q — целые нечетные числа. 61*. Дано уравнение

л*4 — 7х34- 1 = 0.

Не решая его, составить уравнение третьей степени, корни которого были бы квадратами корней данного уравнения. Имеет ли данное уравнение мнимые корни?

62. Вопрос предыдущей задачи для уравнения

хь _|_ хъ + Х2 2х 4- з = 0.

Решить также вопрос: имеет ли это уравнение мнимые корни?

63. Составить уравнение, корни которого равны кубам корней уравнения

X3 4~ рх ф- q — 0.

64* ф. Составить уравнение (шестой степени), корни которого равны X1-J-X2. X1 4- х3, X1-J-X4, х24- *з. х2 4- х4, X3-J-X4, где X1, X2. х3. X4 — корни уравнения

X4-f X3 — 1 =0.

70 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

65. Составить уравнение третьей степени, корни которого равны х2х3, X3X1, X1X2, где X1, х2, X3 — корни уравнения

X3 + 2х — 1 =0.

66. Составить уравнение третьей степени, корни которого

X1 X2 X3

— Xi + X2 + X3 ' X1-X2 -|- X3 ' X1 + X2—" хл'

где X1, х2, X3 — корни уравнения х3 — х2 — 3 = 0.

67. Доказать, что если X1, х2, X3 — корни уравнения

X3 + рх ~\~q = 0,

то

X2 + X2X3 + X2 = X2 + X3X1 + X2 = X2 H- X1X2 + X2.

68. При каком условии уравнение

X5 +pxl~{ q = 0

имеет двойной корень?

69. При каком значении а уравнение

Зх4 + 4х3 — бх2 — 12х + X = O

имеет кратный корень. Каков этот корень и какова его кратность?

70. При каких значениях а, о, с уравнение

хб + ах4 + 1Ox3 + Ьх + с = 0

имеет корень кратности 4?

71. Стороны треугольника служат корнями уравнения

x*~\-px2-\-qx ff = 0.

Доказать, что р2 > Aq.

72. Один из корней уравнения

X3 — бх2 -{- ах -- 6 = 0

равен 3. Решить уравнение!

73. Числа ol и ? (а Ф (3) являются корнями уравнения

X3 -j- р X 4 q = 0 и удовлетворяют равенству ot? —|- а — 0.

Найти соотношение между р и q и выразить третий корень через се и ?.

74. Уравнения

X3 4 P1X 4- ^1 = о, X34 р2х 4 ^2 = о,

где P1 Ф р2 имеют общий корень. Найти этот корень, а также остальные корни обоих уравнений.

75. Определить коэффициенты р и q так, чтобы многочлен

бх4 — 7х3 -4 рх2 4- Зх -4- 2

делился бы без остатка на х2 — x-\-q.

76. Решить уравнение

xin — Axn— 1 =0,

где п—'Целое положительное число.

77. Решить уравнение

..П ~~.,/7_1 ft (ft 1) о «о - А

§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

71

Решить уравнения:

78*. CK+iy1—(х -1)л = 0.

79*. (X + if — (х — if = 0.

80*. [Y-Ix') ^ cos ср + /sin ср.

81*. i-^ + ^zR- ... +(_!)«JLiflliL^^

82**. cos ср + C\ cos (ср + a) x + C« cos (<p + 2a) x2 + ....

... +C^cos(cp + /ia)x" = 0, 0<cp<~.

83. Доказать, что все корни уравнения

a (X — bf + с (х — df = 0,

где а, с, d — комплексные числа, расположены или на окружности, или на прямой (числу a-\-iv, где и и v действительны, ставим в соответствие точку с координатами U1 v).

§ 3. Рациональные уравнения с одним неизвестным

Решить следующие уравнения:

1 _2___1__, х-4

1в х2 —4 х(х — 2)^ х(х + 2) Vt

2. 3.

1,2,3 6

X — 1 ' X — 2 ' х — З X — 6' 1 , 11 9 , 10

х—\ 1 х—ХХ 9-х ] х — ХО

9~ '

к* v2 I__±_ - 1

6.

х* — х + 1 9 X — 1

- 1 , _1__,__1__,_1__п

х — 8 ~^ х — 6 х + 6 ~* х + 8 '

9. 10. 11.

5 4
I 21
5
! 4I 21

: — 1 1
1 х — 3
х+1
1 х—2 1 х+3

2
I 5 -
3
+ 4 -

X + 8
1 X + 9
X+ 15
г х + 6 "

х—1
х — 2
X — 3
х —4

х + 1
х + 2
~ х + 3
х + 4 *

х+1 ,
X-I 1
х — 2 .
х + 2 1
х — 3 . х + 3 1
* + !_4 х —4

IQj}; ^4 12 | ^

Хі ' х* — 2х ^ *2-;е ~1~х ~~Х-

13*. ,If =0,088.

14. x(x + 4)+l(J_ + 4) = 0.

4 + ^°(т+)-

15

72 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

i? _L j__j__і__і__і__L_ —_1I1i__L і

19

21*. 22*. 23*. 24**.

x-\-2 • x + 5 г x + 7 a-+1 Ti-f3 ' jc-j-4 ' a-f6

25*2 74

17. xJ +

18.

(5 + 2x)2 — 69 x* + 3 26

(a:+ 3)3 — 343 " +[Ox+ 15 _ 3x

jc2 _ 6* + 15 jt« — Sx + 15"

20. ^OT = S-

(*? + *+ 1)? 49

(х+\)Цх*+\) ~ 45

(jc2 + l)2 __625 X(a'+ 1)2" — 112 '

(a-I)2a 2

~(x2 — a + 1)'- ~ 9 *

a2 + 36

¦36

Xf 6 ( x — 4 X2 X —6 / A + 9 \2 _9 A2 -^ — 0^ + 4/ і * + 6 \ Jt — 9 J ~~" A2 -

Hx
— 6

~ 6x-
-11 *

133x
— 78

133-
-78x

257a*
— 68

or* 1 (*+1)(л--3) і 1 (Jf+ 3)(.?-5) 2 (x+5)(x-7) _92_ -4° • 5 (.« + 2)(^-4)^9 (x + 4)(x —6) 13 (x + 6)(ж — 8) — 585

3.(^+^f)+3ro = 29(i^+»?±»).

27.

28*. x5 =

OQ* r« — _____________

iV ' 68x2 — 257 "

oft (x*- + I) (*+!)* + ** _ , J_

. JC2 "+ I)+I - — X "Г x •

31. ¦ *.+ _!_ = б(ж + -|-).

§ 4. Рациональные уравнения с одним неизвестным, содержащие параметры

Найти все значения а, при которых следующие уравнения будут неэквивалентны:

1. &±2±=*ll?L и (а2 + 2х)(х + а) = (х — а)2.
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed