Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
-f 2/7O)2 = 2Mu)2-j- — (—--\ FI2 (в треугольнике O1MO2 отрезок Мо> — медиана),
1 е2 (2_е2) г-
поэтому Mo)2 = у _F/2. Если е > у 2, то геометрическое место точек M
пусто; если е = Y 2, оно выражается в точку а>, которая в этом случае совпадает с точкой / (так как в этом случае Fu = FI); если е < Y 2, то геометрическое место
1 е Y 2_е2
точек M есть окружность (F*) с центром о) и радиусом -~—г^-_-=-р.
Огибающая общих касательных к линиям (Ci) и (C2). Если M есть точка, общая направляющим окружностям (O1) и (O2), то эта точка является проекцией фокуса F на общие касательные к линиям (C1) и (C2) (и обратно). Значит, огибающей общих касательных к линиям (C1) и (C2) являетей линия второго порядка
5Б6
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
с фокусом F и направляющей окружностью (F*). Предыдущее исследование показывает, что огибающая существует при условии е < / 2. Для определения вида огибающей надо сравнить радиус (F*) с расстоянием Fu фокуса F до центра (F*). Так
R 1
как ги = — 2
— FI и радиус (Г*) равен ^
1 е / 2 — е2
\е*-\\
FI, то
Fio
R1
Y 2-е2
Если ? < у 2 — ?2 или е < 1, то F лежит внутри (F*) и огибающая — эллипс; если же 1 <е < Y 2, то F лежит вне (F*) и огибающая — гипербола [при ^ =/2 все общие касательные к линиям (Ci) и (C2) будут проходить через фиксированную точку].
13. Г. Построение треугольника ABC, Точки InJ суть соответственно точки пересечения прямой AC с ме-диатрисой отрезка AB и прямой AB с медиатрисой отрезка А С (черт. 116); точка К есть точка пересечения указанных медиатрис. Стороны AB и AC суть две высоты треугольника IJK (опущенные на //< и JK). Это позволяет их построить, если известны точки /, J, К', таким образом, находим Л; точки BwC будут точками, симметричными А относительно IK и JK-
2°. Центр К расположен на АН. Прямая АН есть радикальная ось окружностей (U) и (V), следовательно, она перпендикулярна прямой //, которая соединяет их центры; AK—третья высота треугольника МК> т. е. Черт. 116. AK 1_ U1 поэтому АН и AK совпадают, т. е. точка К рас-
положена на прямой АН. 3°. Площадь треугольника UK. Предполагая, что AB = AC = 2а, следует
рассмотреть два случая: когда х < ~ (угол А — острый, черт. 117) и х > ~ (угол Л —
тупой, черт. 118). В обоих случаях пл. Д IJK = у = -g- IK2 sin (п—2х) = ~ IK2 sin 2х.
Далее, если Л — острый угол, то IK = a(tg2x — tg*), а если Л — тупой угол,
а2
то IK — а (— tg 2х -f~ tg х)\ значит в обоих случаях у — -^- (tg 2х — tg х)2 sin 2х
Л3 (Ж2)
и, полагая tg х = t (t принимает все значения от 0 до -j- оо), получим у = а2
(1— t2)2
Отсюда находим, что при изменении t от 0 до 1, у возрастает от 0 до -f оо; при изменении t от 1 до /3-)-2/3, у убывает от + оо до -^- /(3 + 2/3)3, а при
изменении t от /з + 2 Y 3 до + со, у возрастает от -^- /(3 + 2 / З)3 до + со.
14. 1°. Геометрическое место точек М. Рассмотрим касательную ВТ, проведенную из точки В к кругу (С), и две касательные, проведенные из точки Л к тому же кругу. Пусть M — точка пересечения касательной ВТ с одной из двух касательных, проведеьных из Л. Точка С есть основание биссектрисы внутреннего угла M треугольника АМВ. Значит основание С биссектрисы внешнего угла M того же треугольника гармоні че:ки сопряжено с точкой С относительно Л и В. Поэтому точка M расположена на окружности (F), построенной на CC как на диаметре. Радиус х окружности (С) может изменяться от 0 до Ь. Обозначая
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 557
через T ту точку прикосновения касательной, проведенной к окружности (С) из точки В, которая расположена над AB, заключаем, что эта касательная ВТ может занимать всевозможные положения луча, проходящего через точку В и расположенного внутри прямого угла CBI1 и точки пересечения касательной ВТ с окружностью (Г) [или с касательными, проведенными из А к (С)] опишут соответственно дуги CI и CJ окружности (Г) (черт. 119). Если точка T расположена под AB (точка T' на чертеже 119), то точки M и M' опишут дуги CJn CI той же окружности (Г). Значит, геометрическое место точек M есть вся окружность (Г). Вычисление AD и R. Так как точки A1 B1 С, С образуют гармониче-
1,1 2 1,1 2 скую четверку, то .__ + -==т = -=г или__f ¦ -|---= —(—— (положительное
направление сюда AD =
AC выбираем
AC+AC'
AC А а2
AB ' В);
а
AC следовательно,
а + Ь ІС =
a (a + b).
от-
и R=CD = CA +AD ab
а — AD-
AC--
Замечание.
а — Ь '
Так как точка В гармонически со^ пряжена с точкой А относительно С и C1 то прямая IJ— поляра точки А относительно окружности (Г)\ точки / и J являются точками прикосновения касательных, проведенных к окружности (Г) из точки А.
2°. Точки M9 соответствующие данной окружности (С). Рассматриваемые положения M и M' точки M суть точки пересечения с окружностью (Г) одной из касательных, проведенной из точки А к и И — ортогональные проекции точек С
Черт. 119.
окружности (С) (черт. 119). "Пусть К и D на эту касательную. Имеем: ЛИ Л D