Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
1в R2C ои
ТС R2-AQUB JBR^CQjA _ JCWAQ2-B'
Черт. 112.
MXBN'C QxA
MxCN'A QxB W? Wc Q2-A _ MjC WA QjB' WBWCWA _ WxTlRx-AWB'
mlbWcWA
M2C R2A Р!В
Из (3) и (6), а также из (4) и (5) находим:
N1CFAMxB M2B R2CQxA
WaWbIaxXЖеЩАо\~В
= 1,
J^R1C Q2A ^ х
WAWBWcWcWAQjB
откуда
Wc Wa = Wc Q2-A. WA Wb~~ Wa Wb'
отсюда и из (1) и (2): Шг~4==гл, следовательно, точки InJ совпадают. 4. Обо-IC J С
значим через / точку пересечения прямых AP и BQ; треугольник AIB прямоугольный и равнобедренный. Геометрическое место точек PuQ суть отрезки P2A
и QxB сторон AI и BI длиной ^^* ^ (черт. 113).
Геометрическое место середин P' и Q' отрезков SQ и SP. Точки Q' и P' гомотетичны точкам P и Q по отношению к фиксированной точке .S с коэффи-
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 553
циентом гомотетии, равным
Геометрическое место точек Q' и P' суть от-
резки Q1Q2 и
PP
гомотетичные отрезкам AP2 и QxB в гомотетии
Геометрическое место точек S'.
из точки S' перпендикуляр SV на AB и и O2 полуокружностей (O1) и (O2); PO1O
O1P + O2Q
средняя линия; значит, /ч —
(,і).
JS' ¦
Пусть S' — середина PQ. Опустим соединим точки PnQc центрами O1 2 — прямоугольная трапеция, SV-ее AB— CD
-: следовательно.
точка
S'
2 4
лежит на прямой, параллельной AB. Геометрическим местом точек S' является отрезок S[S2 этой прямой, соединяющей середины отрезков ^IQ1 и BP2,
Огибающая PQ. Пусть /'— пересечение медиатрисы PQ с IS. Так как IS — биссектриса угла / треугольника IPQ, то ее пересечение с медиатрисой гипотенузы PQ принадлежит окружности, описанной около этого У треугольника; но центр этой окружности есть середина S' отрезка PQ; значит, SP = S'!,
Черт. 115.
S1S2. Далее,
а потому /' — фиксированная точка, симметричная / относительно PQ — вторая сторона прямого угла I'S'P, вершина S' которого перемещается по отрезку S1S2' а первая сторона которого проходит через фиксированную точку /'. Значит, огибающей будет дуга параболы с фокусом /' и касательной в вершине S1S2, причем эта дуга ограничена касательными, проведенными к указанной параболе из точек S[ и S2. 5. Г. Прямой угол OHS проектируется на плоскость в прямой угол AOx (черт. 114). Значит, точка H лежит на окружности с диаметром OA в плоскости AOx.
2°. Параллельность PM и SA. Прямая ^4S параллельна оси Oy, следовательно, параллельна плоскости хОу. Плоскость SAH пересекает плоскость уОх по прямой PM; значит, PM\\SA.
Соотношение между OP = X и PM= у. Из подобия треугольников SAH PM HP
С другой стороны, ОН _]_ AP и, значит, ОН—высота
и HPM имеем
AS
НА
HP
OP2
PM
0Р\ OA2'
прямоугольного треугольника ^40Я, поэтому -==- =---, отсюда
НА OA2 AS
но OA = AS=I, значит, у = — х2. Геометрическое место точек M есть парабола у = — X2. Для построения касательной к этой параболе в точке Mx (\, —1) строим точку О (0,1). Прямая QMx — искомая касательная. 3°. ОН J_ АН и ОН ± AS; значит, ОН ± пл. SAH и ОН ± AK Итак, AKlSH и AK1 ОН; значит, AK 1 пл. OHS.
11. Г. Четверка точек O, /, т, т'. Пусть /—точка пересечения MM' с осью Oy. Пучок прямых О (у, х, М, M') — гармонический; следовательно
554
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
(JIMM') — гармоническая четверка точек, а значит (OImm') — также гармоническая
четверка. Заметим, что так как OM' = ЮМ, то -.=-=--^=---2 (черт. 115).
От Im
Четверка точек O9 A9 А', В. Опишем вокруг треугольника OMM' окружность; она пересечет ось Ox во второй точке В, такой, что В — середина дуги MM'. Пусть LO — центр с» то і і окружности, прямая O)B — медиатрис а отрезка MM', треугольник О-оВ — равнобедренный. С другой стороны, медиатрисы отрезков OM и OM' проходят через со и одинаково наклонены к оси Ох; они пересекают ось Ox в точках А и А'; таким образом, Д Ao)A' равнобедренный. Наконец, так как OM' = 20M, то OA' = 20А\ следовательно, OA = AA' = А'В, т. е. точки А и А' делят отрезок OB на три равные части.
2°. Построение треугольника (/), если задана:
а) прямая MM'. Пусть / и / — точки пересечения этой прямой с осями Ox
и Oy. Так как JIMM' — гармоническая четверка точек и =— 4=--2,
__ _ JM IM
MJ M1J
то — -=r = -^=- = о; значит, точки M и M делят отрезок Ji в отношении 3 и, MI M'I
следовательно, легко могут быть построены.
б) Дана середина P отрезка MM'. Тогда известна проекция р точки P
на ось Ох, а также известны точки т и т', так как От = \ор и От' = ~ (Jp.
о о
Зная т и т', находим /, так как Im' = — 21т. Прямая MM' совпадает с IP, а точки MnM' находим, проводя через т и т' прямые, перпендикулярные оси Ох.
в) Дан центр ю окружности, описанной вокруг треугольника (T). В этом случае можно построить "окружность, описанную около треугольника OMM' (ее радиус шО). Эта окружность пересечет ось Ox в точке В. Значит, можно построить точки А и A' (OA = AA' = А'В). Прямые оіА и шА'— медиатрисы отрезков OM и OM'; следовательно, точки M и M' — это точки пересечения окружности, описанной около искомого треугольника (T), с перпендикулярами, опущенными из О на (SiA и OiA':
