Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
дуги B1Cx окружности (Гх)} находим: MU = tg ~, MN = а ctg а.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 551
Если MN > MU {т. е. tg-^- < ^f)> то ПРИ 0 < 2k < Y задача имеет
4 решения, при ~ tg ~- < 2k < а ctg а — два решения, при 2/г > а ctg а — ни одного
а
решения. Если же MN < MU, то -<ytg-<у и а ctg а в приведенных неравенствах надо поменять местами. Что будет при MN = MU (сделать чертеж)? Исследовать случаи: ~ tg = 2k, а ctg а = 2/г, считая AW > АШ или MN < MU, или MN = Af (/.
2й. Огибающая прямой #С. Пусть /(—проекция Я на (D). Прямая (D) в результате инверсии I (H, Ak2) преобразуется в окружность (J), построенную на HK как на диаметре; В' и С' — это точки, в которых прямые HB и HC пересекают эту окружность (черт. 111). Следовательно, угол BHC равен соответственно или 180° — а или а, в зависимости от того, расположена ли точка А по ту сторону от (D), где лежит точка Н, или по другую сторону (сделать второй чертеж, аналогичный чертежу 111). В том и другом случае угол В JC равен 2а. Расстояние от точки / до прямой В'С всегда равно k cos а, значит прямая В'С касается окружности с центром J и радиусом k cos а. С другой стороны, всякая касательная к указанной окружности соответствует некоторому возможному положению В'С, так как точки В и С, в которых прямые HB' и HC пересекают (D), определяют треугольник ABC, принадлежащий заданному семейству треугольников ABC Таким образом, указанная окружность является огибающей семейства прямых В'С.
Фиксированная окружность, касающаяся окружности, описанной около треугольника HBC
Окружность, описанная около треугольника НВС, получается в результате инверсии I(Н, Ak2) прямой В'С', а потому касается окружности (J'), полученной из окружности (J), в результате инверсии I(H, Ak2). Пусть E и F— точки, в которых окружность (J) пересекает FlK, и пусть E' и F' — образы этих точек в инверсии Л Так как (черт. Ill) НЕ = k (1 — cos a), HF = k (1 -f- cos а),- то НЕ'
Ak2 Ak tri?/ Ak2 Ak „,r .
= - =--цр = і--— • следовательно, EF-
k(\ — COS а) 1 — COS ос k (1 + COS а) 1 + COS а
s=M?'-//f'=8ftC0,Sa.
sin2 а
3°. Фиксированная окружность, касающаяся окружности, описанной около треугольника ABC. Окружность (F), описанная около треугольника ABC, симметрична окружности (HBC) по отношению к (D), значит окружность (F) касается окружности (J"), симметричной окружности (/') по отношению к (D).
Геометрическое место О центров окружностей, описанных вокруг треугольника ABC. Окружность (F) проходит через точку P и касается фиксированной окружности (J"). Более того: так как прямая В'С может быть любой касательной к окружности (J), окружность (HBC) может совпасть с любой окружностью, проходящей через H и касающейся окружности (У); значит, окружность (F) может быть любой окружностью, проходящей через P и касающейся окружности (J"). Отсюда следует, что геометрическое место центров О окружности (Г) есть гипербола, фокусами которой являются точка P и центр окружности (J"), а большая ось равна радиусу окружности (J").
Геометрическое место центров тяжести треугольника ABC Пусть G центр
тяжести треугольника ABC Точка G получается из точки О гомотетией ^Я, —);
значит, геометрическое место точек (7 есть гипербола, полученная из гиперболы
(только что рассмотренной) в результате гомотетии (Я,.
4°. Изучение окружностей с диаметром ВС. Окружность с диаметром ВС ортогональна прямой (D) в точках В и С; значит, ее образ (5) в инверсии (H1Ak2) будет окружностью, ортогональной в точках В' и С окружности (J). А так как
угол В'JC равен 2а, то центр (5) отстоит от J на постоянном расстоянии
cos а
552 Отпеты. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
и радиус (S) всегда равен k tg а. Значит, точки P и Q1 в которых JS пересекает окружность (S), отстоят от / на постоянных расстояниях, и потому окружность (S) касается двух концентрических окружностей (C1) и (C2) с центром / и радиусами JP и JQ. Отсюда следует, что окружность с диаметром ВС касается двух
и только двух фиксированных окружностей (C1) и (C2), полученных в результате инверсии (//, 4k2). Но центр окружности с диаметром ВС лежит постоянно на прямой (D); значит, если окружность с диаметром ВС касается фиксированной окружности, то она касается и окружности, симметричной указанной фиксированной окружности относительно (D). Но окружности с диаметрами ВС касаются только двух фиксированных окружностей; значит, окружности, полученные из окружностей (C1) и (C2) инверсией / (H1 4k2), которых касаются окружности с диаметрами BC1 симметрично расположены относительно (D). 3. Спроектируем из точки данную конфигурацию в другую плоскость так, чтобы прямая ВС спроектировалась бы в бесконечно удаленную прямую плоскости проекций. Будем обозначать в плоскости проекции образы точек теми же буквами, но строчными. Тогда на плоскости проекций n!qxx\\p'rx и n'q2\\p'r2l а надо доказать, что rxq2\\r2qx, что достигается рассмотрением подобных треугольников. Другой вариант решения: обозначим через / и / точки, в которых прямые QiR2 и Q2Ri пересекают ВС. Применяя теорему Менелая к различным секущим, будем иметь (черт. 112):
