Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Черт. 106.
время двигаться первым способом. Если шарик движется вторым способом и если ? = а (черт.106), то после отражения от борта в точке P он ударится о другол борт в точке Q (/_ PQA — 90°) и начнет свое движение от Q к Рпо тому же пути и будет двигаться уже первым способом. Если ? < а, то после отражения в точке P он будет двигаться к борту уже первым способом, так, что если ? а, то шарик в конце концов вылетит из биллиарда. Если, наконец, ? > а и шарик движется вторым способом (черт. 107), то после отражения от борта в точке P шарик будет двигаться к другому борту опять вторым способом и угол падения будет ? — а. Если все ещё ? — а > а, то ша-рик после отражения будет двигаться вторым способом по направлению
Черт. 108.
к другому борту и т. д. Пусть /г—-такое целое положительное число, что ?—(U-1) а>а, но ? — kd < а. Тогда после U отражений шарик переменит способ движения, начнет после 1U-YO отражения двигаться первым способом и опять в конце концов вылетит из биллиарда. Из проведенных рассуждений ясно достаточное условие, при каком шарик пройдет через свое начальное положение: если он начинает свое
движение вторым способом и если -— число целое (конечно, положительное),
а
т. е. угол падения в целое число раз больше острого угла биллиарда. 88. Точка пересечения диагоналей. 89. Надо последовательно отразить зеркально точку P в сторонах данного прямоугольника. Получим точки P1, P11, Рп{, PlY (черт. 108), а затем, соединив Plv с P1 найдем /<, соединив К с Я111, найдем L и т. д. Ломаная PNMLKP будет иметь наименьшую длину.
Глава XX. Задачи, в решении которых применяются комбинированные методы
1. C7A1 = UCA1 A7Bx = UA43, Wc1 = UB7C1 J7A2 = UB7A, С~В2 = UC7B1 A7C2 = UA7C. Точки Gx и G2 будут центрами тяжести треугольников AxBxCx и A2B2C2 тогда и только тогда, когда
Но
GxAx + GxBx + GxCx = 0, (1) G2A2 + G2B2 + G2C2 = 0.
G~AX = GxTy-V C7Ax*= GxI? + UC7A1 OjBx = GxH' + A7Bx =~0\~А' + UA4B, O1Cx = Gx^B' + B7Cx = Gi~B' + UB7C1 Gn~A2 = G2^' -j- Wa2 = G2I?+ UB7T1 G2X = GJZ' + C7B2 = G2I*' + UC7B1 G2-C2 = ~G2~A/ + A7C2 ~G^A! + UA7C.
(2)
550
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
(!') (2)
откуда
Теперь из (1) и (2) находим
G^C' + GxIt + (JjP = a (CM + A7Is + /гс)
и
(??' + G2^ + G^A' = k {B7A + C7B + A7C);
но АВ + \ЗС+СА = 0, значит Ж?" + C7O+ BA^+ АФС + CB^+ B7A = 0,
CA + A7B + B7C = A7C + B7A+ СВ. Теперь из (Г) и (2') находим
H- G1^' + G1B' = G2Br + G2C + G2A'. Отсюда следует, что точки Cj и G2 совпадают (точка G на черт. 109). 2. 1°. Окружность, описанная около треугольника ABC, проходит через точку Р, симметричную точке И относительно (d); точка P фиксирована, поскольку фиксированы H и (d).
Построение треугольника АБС с заданной стороной ВС = а. Пусть ABC—искомый треугольник (черт. 110) и пусть (Г) — окружность, описанная вокруг этого треугольника. Эта окружность проходит через точку Р, точка А
Черт. 109.
есть вторая точка этой окружности, лежащая на перпендикуляре, опущенном из P на (d). Так как A=а—острый угол, то точка А лежит на большей дуге окружности (Г), отсекаемой от (Г) прямой (d). Отметим на прямой (d) точки B1 и C1 такие, что
B1Cx = ВС. Преобразование переноса BB1, при котором точка В преобразуется в B1, переводит окружность (Г) в одну из двух окружностей, проходящих через B1 и C1, дуги которых вмещают данный угол а. Отсюда построение: возьмем на прямой (d) произвольный отрезок B1Ci, длина которого равна а. На отрезке BxCx построим две дуги, вмещающие угол а (дуги большие полуокружности, поскольку а — острый угол), и дополним эти дуги до окружностей, частью которых являются эти дуги. Окружность, описанная около треугольника ABC, удовлетворяющего условию, получается в результате такого параллельного переноса одной из таких окружностей, при котором перенесенная окружность пройдет через Р. Проведем теперь через точку P прямую (а), параллельную (d). Если Px — одна из точек, в которой эта прямая пересекает одну из построенных окружностей, мы получим окружность (Г), описанную около треугольника, удовлетворяющего условию в результате переноса PPx, вершина А которого расположена на большей дуге окружности (Г) [отсеченной от (Г) прямой (d)]. Это условие будет выполнено всегда, если точка Px будет расположена на меньшей дуге окружности (d1), проходящей через Ax и C1 и вмещающей угол А, причем большая дуга (d1) лежит по ту же сторону от прямой (d), где лежит точка И. Обозначим через (Г2) окружность, симметричную (d1) относительно (d), а через ? и y — точки, в которых прямые, проходящие через C1 и Bx перпендикулярно (d), пересекают (Г2). Точка P может также принадлежать дугам окружности (Г2), заключенным между прямыми (d) и ?y. Точка Px не может лежать на большей дуге окружности (d1), отсекаемой от нее прямой (d), и на дугах (Г2), лежащих вне полосы, ограниченной прямыми (d) и ?y. Таким образом, задача имеет решение тогда и только тогда, когда точка Px принадлежит одной из трех дуг, отмеченных утолщенными линиями на чертеже 110. Обозначая через MwN середины BxCx и ?y> через U—середину меньшей
