Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
1°. Исследовать функцию f (х) па возрастание и убывание в зависимости от положения точки M в плоскости (H).
2\ Построить на одном и том же графике кривые, соответствующие следующим случаям:
§ 2. КОРНИ ЦЕЛОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ОТ ОДНОГО АРГУМЕНТА 67
а) S =— 4, /? = 6;
б) S = — 2, р = 6;
в) s=l, /7 = 6;
г) .9=2, /? = 6; d) s=4, /?=6.
3°. Пусть M0 и М—точки плоскости (H), соответствующие функциям
/0 (х) = COS2 X-S0 COS X + Po»
/ (х) = COS2 X — S COS X + /7.
Найти наибольшее значение выражения | / (х) —/0 (х) |. Обозначим этот максимум через D(M0, M); рассмотреть несколько случаев в зависимости от знаков s — S0 и р — р0. 4°. Предположим, что M0 — фиксированная точка, a M—переменная. Определить геометрическое место точек M при условии, что D(M0, M) = = const. Пусть А— точка с координатами s = p=2, г В— точка с координатами s — р = — 2. Найти геометрическое место точек M таких, что
D(M, A) = D(M, В).
§ 2. Корни целой рациональной функции от одного аргумента
Найти рациональные корни многочленов:
1. х3 — бх2 + 15л: — 14.
2. х5 — 7х3 — 12л2 + 6х + 36.
3. бх4 + 19л-3 — 7х2 _ 2бх + 12.
4. 24х54- Юл4 —X3— 19л2 — 5л+ 6.
5. Юл4-- 13л3+ 15л:2— 18* — 24.
6. л4 + 4л3 — 2х2 — 12х + 9.
7. х- + л4 — 6л3 — 14л2 — 1 Ix — 3.
8. Доказать, что если все коэффициенты целой рациональной функции / (х) — целые числа и уравнение / (х) = 1 имеет четыре попарно различных целых корня:
X ¦ Л і, X — X2, Л — Л 2, X ——- X ,
то при целом значении х, / (х) не может быть равно —1.
Решить следующие уравнения (найти все корни, в том числе и комплексные):
9. х6=1.
10. (л2+ л)4 = 1.
11*. Доказать, что если л7 = 1 п хф\, то
v4 _L
2
12. Доказать, что если —1, X1, х2, хп—корни уравнения хп bl + 1 = 0, то (1 —X1)(I ~х2) . . . (1 — Xn)= 1.
13. Привести уравнение
4
к двучленному уравнению, а затем решить его.
5*
68 Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Решить следующие уравнения:
14. х4—2(а24~?2)х24~(а2 —?2)2 = 0.
15. Xі —a (a-\-b) X2+ а*Ь=^0.
Решить следующие уравнения и найти, при каких действительных значениях параметра а уравнения имеют действительные корни; выделить эти действительные корни и указать также мнимые корни:
16. (a — l)x4~~ Ax2 + а + 2 = 0.
17. (а — 3) X4 — 2 (За — 4) х2 + 7 а — 6 = 0.
18*.При каких действительных значениях а уравнение
имеет один корень, меньший чем —2, и три корня, больших чем
19. При каком условии (р и q — действительные числа):
а) все корни уравнения х4 -¦f- рх1 + q 0 действительные;
б) вес корни этого уравнения мнимые;
в) два корня мнимых, а два действительных;
г) все корни «чисто» мнимые.
Вывести необходимые и достаточные условия, доказав необходимость и достаточность.
20. Доказать, что если корни биквадратного уравнения
(о и q — действительные числа) составляют арифметическую прогрессию, то либо все члены этой прогрессии—действительные числа, либо все— «чисто» мнимые. 21. При каком условии корни биквадратного уравнения
действительны и удовлетворяют следующим условиям?
а) все они заключены в интервале (—а, а), где а — данное положительное число;
б) все они заключены вне этого интервала;
в) одна пара корней заключена внутри этого интервала, другая — вне его. Решить следующие уравнения:
ах* _ (а _ 3) х-2 + За = 0
л44~рх2 + а = 0
X4 -j- рх2 + q = 0
22. 23.
хв -)-- 5л-3 — 24 = 0. Xs— 15х4— 16 = 0.
25.
24.
(2х2 4- Зх* — I)2 — 5 (2х2 + Зх 4- 3) -г- 24 = 0. (Л-2 X 4- I)4 — бх2 (х2 — X 4-1)24- 5х4 = 0.
31.
27. 28.
33.
29.
26.
(X + З)4 + (*4-5)4 -4. х44-4х— 1 =0. X4 — 4х3 — 1 = 0, л4 f (X — 4)4 = 32. A-*4~(6 - xf = 1056. (х24- 1)2 = 4 (2л:— 1).
33. 34.
32.
(X — 4) (X — 5) (X — 6) (х — 7) = 1680. X4 4~4а3х = а4.
35.
(X2— 16)(х — З)2 = 9х2. X4 — 12x4-323 = 0.
§ 2. КОРНИ ЦЕЛОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ОТ ОДНОГО АРГУМЕНТА 69
36. (Gx -j- о)2 (Зх + 2) (х -ф 1) — 35 (подстановка 6х 4~ 5 = ,г).
37. (л: + af ф- (X 4- 2а)6 + (х + За)6 = 2а6.
38. (ах — I)3 + (а + I)3 х2 = 0.
39. (X2 —5jc+ 7)2 —(х-2) (JC-3)= 1.
40. X3 4-(1 — W2) X 4- m = 0.
41. (а — х)5 4- (X — ft)5 = (а — ft)5.
42. (1 + X 4~ х-2)2 = (1 4- X2 4- *4).
43. X4 4» X3 4- X 4- 1 = 4х2.
44. X4 -4 2х3 — llx2-f 4*4-4 = 0.
45. (а — х)3 4 (ft — х)3 = (а + ft — 2х)3.
46. (X — 1 )3 -4 (2х 4- З)3 = 27х3 -f 8.
47. (д - X)4 4- (ft — X)4 = (а 4- ft — 2х)4. 40. (а — xf 4- (ft — х)5 = (а ф- ft — 2х)\
49. ^ aftx (х 4- а 4- ft)3 — (ах 4~ ftx ф~ aft)3 = 0.
50. х3 —Зх = а34~1-.
51. X3 4- (ft2 — 2) X = 2ftx2 — 2ft. 52- =
54. X6 4- (с — ft) X3 — be = 0.
55. (Sx 4- 7)2 (4х 4- 3) (X +-1) = I, (4*4-7* — .у). 56*. (а 4- х)8 4- (а2 + X2)4 = а4х4, а Ф 0.
57. " (X2 — 3x4- 1)(х24-3x4-2)(х2— 9x4-20)=- - 30.
58. (14-X)4 = 2(1+ X4).
59*. Доказать, что если все корни уравнения х3 4~ рх ф- q = 0 действительны,
то /; < 0 (р и q — действительные числа). 60. Доказать, что уравнение
