Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
прямых. Наконец, если данный отрезок больше расстояния между данными прямыми, то имеем две прямые, параллельные данным. 16. Вершина прямого угла описывает диагонали прямоугольника, стороны которого равны удвоенным катетам движущегося треугольника и параллельны данным взаимно перпендикулярным пря-
B
Черт. 100.
P В A' P
Черт. 101.
мым. Центр симметрии прямоугольника совпадает с точкой пересечения данных прямых. 17. Хорда AB делит данную окружность на две части C1 и C2; для всех точек M части C1 имеем AMB = а, для всех точек M части C2 имеем AMB = ?. Искомая линия состоит из дуг C1 и С\ окружностей, концы которых— точки А и В. Дуга C1 лежит с той же стороны хорды AB, что и дуга C1,
и для всех ее точек N имеем ANB = ~. Дуга С*2 лежит с той же стороны
о
хорды AB1 что и дуга C2 и для всех ее точек N имеем: ? ANB = ~~. 18. Прямая.
19. Две окружности с центром в точке А. 20. Если считать, что (в соответствии с данным порядком вершин треугольников ABC и PMQ) 2. PMQ = ? ABC, то заданным геометрическим местом точек являются дуги четырех окружностей, для которых MN — общая хорда и которые вмещают углы ACB и ВАС (черт. 100). 21. В случае пересекающихся прямых — прямоугольник, для которого данные пересекающиеся прямые являются диагоналями. В случае, если данные прямые параллельны, будем иметь две прямые, параллельные данным (если сумма расстояний больше расстояния между прямыми). Если данные прямые параллельны и сумма расстояний от любой точки заданного множества точек до этих прямых равна расстоянию между ними, то искомое множество точек состоит из всех точек, лежащих между данными прямыми, включая и все точки обеих данных прямых. 24. Пусть а > b и пусть дуга, стягивающая хорду 2а, равна 2сс, а дуга, стягивающая хорду 2Ь, равна 2?. Искомая линия состоит из пары окружностей, для которых AB — хорда, которая видна из точки окружности под углом а 4- ? или а — ?. Расстояния, о которых говорится в условии задачи, равны для первой окружности:
r2 + ab — Yr2 — a2 fr2 — b2 bYr2~ar ¦{ aY г2 — b2
bYr2 — a2 +aYr2 — b2 ' г2 + ab —/r2"^^'YW^W !
548
Ответы. Планиметрия. Гл. XIX. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
для второй окружности:
Г2 _j_ ab -і- Yr^ZTgT Y72 — b2 b Y7^~ar — a Yr2 — b2
a bYr2 — a2 — aY^^b2 ' r2 + ab -j- /r2 — a2 V^2 — &2 *
25. Точка Д где = а, принадлежит заданной линии (черт. 101). Проекция отложенного отрезка X на прямую / равна а, поэтому средняя линия трапеции PORQ является в то же время и перпендикуляром к отрезку А'В в его середине. Значит (? О A'R = 90°), вокруг четырехугольника OBA'R можно описать окружность (с центром Т), поэтому RBO = 90° и. следовательно, заданная линия является прямой, проходящей через точку В перпендикулярно OB. Если отрезок X откладывать в обе стороны, то получим две прямые: вторая прямая проходит через точку Bf (PB' == PB) перпендикулярно OB'. 26. Диаметры неподвижной окружности. 29. Все точки, лежащие внутри треугольника, вершины которого— середины сторон данного треугольника.
Глава XIX. Задачи на построение § 10. Смешанный отдел
4. с>2Д, ^(V2hc + c2±Vc2 — 2hc). 8. sin ? = ~-2(YR2 + Sa2 — Л),
гяе^ = /_ОАВ (О — центр биллиарда). Задача имеет еще два решения: шарик можно направить по диаметру OA в одном из двух возможных направлений.
О P О P
Черт. 102. Черт. 103.
22, Центр тяжести совпадает с центром круга, вписанного в треугольник, вершинами которого служат середины сторон заданного «проволочного» треугольника. 42. Пусть А и В — данные точки, а отрезок AB не параллелен и не перпендикулярен данной прямой. Перпендикуляр к отрезку в его середине встречает данную пряму% в їоЧке My для которой I AM — BM \ = 0 — это наименьшее значение \АМ—BM I. Продолжение отрезка AB встречает данную прямую в точке М, для которой I AM — BM I имеет наибольшее значение. Разобрать случай, когда отрезок AB: а) параллелен данной прямой; б) перпендикулярен данной прямой
A ^
Черт. 104. Черт. 105.
43. AE = АВ±\ AB2 — AD2 , Л?> AD. 44. Два решения, если 5 > 4k2, одно, если s = 4k2', ни одного, если s < 4k2. 53. Около данного треугольника описываем окружность и строим равнобедренные треугольники AC1B, BA1C и CB1A, где C1, A1 и Bx—вершины равнобедренных треугольников, лежащие на описанной окружности. 56. Для краткости формулировок условимся говорить, что «шарик движется по первому способу), если до удара о борт в точке P (черт. 102) шарик и вершина данного острого угла находятся по одну сторону от перпендикуляра, восставленного к борту в точке Р, и что «шарик движется по второму способу», если шарик и вершина угла находятся по разные стороны от указанного перпендикуляра (черт. 103). Если шарик движется первым способом (черт. 104) и если угол падения 3 > 90е — а, то, отразившись от борта один раз, он вылетит из биллиарда. Если ? < 90° — а (черт. 105), то шарик после удара о борт в точке P
Ответы. § 10. СМЕШАННЫЙ ОТДЕЛ
549
будет совершать движение к другому борту и будет опять двигаться первым способом, причем новым углом падения будет угол а + ?. Если все еще 3 + а < 90° — а, то после отражения шарик будет двигаться и опять первым способом, по направлению к борту, ударится о него и т. д. Вообще, если U — такое целое положительное число, что ? Ч- (U — 1)а < 90° — а, но ? + Ua > 90° — а, то после U отражений шарик вылетит из биллиарда и притом в процессе движения будет все
