Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
* ffi. 3..1(.. + ^^).82.6. 7, 8. 83. »4-« +
86. J_/a» + at + ft». 87. -L±_-. 88. ^=±R.
f3 (l+a)(l + ?)(l+f) 6
89.
(¦-/ •-»^[•+/1[+/•-V]; Г-
7т/2
2 tf/* qq 1
90- (^ + С)2_Д2 - 91. ~ . 92. /^+/г^Т+^r8TT. 93. Проведем пря-
мые .4.4', CC Обозначим через хь х2, х3, х4, х5, X6 и X7 площади тре-
угольников, на которые разбился данный треугольник проведенными прямыми. В силу данных соотношений будем иметь: пл. Д В'BP = Kx3, пл. Д С CQ = /хх2. Д A'AR = Vx1 (на черт. 97 заштрихованы площади х4, хъ и хб). Теперь в силу данных соотношений будем иметь:
1) X2 + X5 +(1+V)jt1 =
1+(х'
2) ^5 + (1+ V) X1 + X2 + + Xx3 = X [(1 + P-) -? + *3 + *б].
3) х7 + X4 + Xx3 = X (х2 + х3),
4) (1 + у.) х2 + х6 + X3 = 1 х ,
5) (1 + fi) X2 + X6 + X5 + х7 + Vx1 = V [(1 + X) X3 + X1 + х4],
6) X7+X5 + VX1 = v (X4 + X1),
7) (1+^3 + ^4 + ^1=7^,
8) (1 + X) х3 + х4 + X7 + х6 + [хх2 = fx [(1 + v) X1 + х5 + х6],
9) X1 + хб + [XX2 = ix (X5 + х2).
Складывая 1-е и 3-е уравнения и вычитая из 2-го, получим —х2 = X (1 + jx) х2—-=—-,
1 -f- [X
откуда х2 = ^.^ [1 + ([^+ 1) Ц' ^налогично из 3, 4 и 5-го уравнений находим
§ 2. МНОГОУГОЛЬНИКИ
545
»(1 + X)J
; наконец, точно так же из трех последних уравнений Из черт. 97 теперь легко находим:
Хз~ (!+-')[!
5
находим X1 = уг—г—r-ff-j-тт~1—Vf
(1 +v)[l +fx(l +V)J S S S
т—гт + --Ь r~i--V x7 — (xxAr х2-{~ х3) = s. Отсюда из предыдущих выражений
1 + Л. і + (л 1+-V
для хх, х2, X3 находим искомое отношение
1
1
1 + '
(1 + M[I + 0 + rt[i + 4i + rt] (і + v)[i -+^(1 +-V)]
Ar1V _ I)2
тг—.—п . ,ч, Г1 , ' п ' Ч1 п і Wi і—vT * 94* Проведем отрезок ОС (черт. 98). [l + v(l+ X)][I +fx(l+v)][l+ X(I+Ji)] г г * '
_ BP а + X пГкП * + у ^
Тогда T77T ~- г+— , 'начит пл. Д РОС = х —+-^-. Теперь имеем:
PC ~~ Ь + \
пл. ДЛО? пл. Д O?C
я + х пл. Д ^BQ пл. Д QBC 9
а А- у
X + X
ЬАгу о-\-х '
а так как
а + X # + 0 + x+ y = s, то вопрос сводится к решению системы уравнений: (1), (2). 95.
(D (2)
і. I
о
2. d. 3.
h2
8#3r3
11.
(Я2 + г2)2 '
§ 2. Многоугольники
5. 2 /Ї7 и 2 /33. 6. г = 2а (2 /3 )• 9. (/я + я)2. 10. ]/~^
л 55 70 4- 12И T
п2 — d2) A- d(b2 — c2) b—d
d (b2 ~a2) + b (с2 — d2)
(b и d — параллельные стороны, b > d).
bA-d
13,
4 (b — d) І—па n2Q
У (а
с — d) (а — b + с + d) (о, + і
c + d) ( — a + b + c + d) ,
где b и d—параллельные стороны, b>d. 12. Основания трапеции: (p±Y2p2—4d2)
4С „ А(дс + Ы) (бс + atf) ,/~<>с + Ы) (ло + erf)
15. Диагонали: |/ ^_Л__^__Г_, , -|/ v_
/и2 + (771 + л)2" г я/3+ cd ' г bc + ad
Площадь: \г(р — а) (р — Ь) (р — с) (р — d), где 2p = a-\-b-\-c-\-d. 16./5.
* 17.
рУр
V2p — P
18.
/з
(^+ 4^+ 02). 19. 16. 20.
?(l+2a + a?)
(1 + «)(1 + Р)(1+« + «Р)
546 Ответы. Планиметрия. Гл. XVII. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
§ 3. Окружность
2. ( /V V- 3.' 4.90'. 5. гЪ+Ю. е.*. 7.1.
8. г = 2(/2-1)/?. 9. ЛМ = 2Я, ЛЯ = ^, MP=M-, 10. с>~<а~6>' .
3 3 4(/а+/б)2
И. ^ (а V^ZF=P + 6 V2F^). 12. -^????-- 13.^-(3 + 1.-3/3).
14. 15. ^ +^ гЯ. 16. Vab+W. 17. Я/б. 18. г/З. 19. 4. 20. УЖ=~ьТ
21. Если Я—точка пересечения CD с ЛВ, L- точка пересечения CD с MN, то DK=LC (точки на хорде CD расположены в порядке: С, L, К, D).
Ib1 +П±1\ ,rJVA + JL) . 23.-^-^. 24. * 25.5. \ 12 ^ 2 / \ 8 ^ 48/ г + г! /3
26. 13 или 53. 27. |„ 28. /ЖГ. 30. 31. A1 +А,=/?,+/?.
32. [12 + 7^3-(^+21^).]^ 33. yTZ^Z. 34. -?(3^-*)-
36 л Г (Wo+ RcRd)(RbRc+ XdRg) 37
" - RaRc + RbRd ' ' 2/3 *
22,
Глава AV//. Задачи на доказательство
§ 1. Треугольник
158e J^l [(2 + |ЛЗ)2л — (2 — УЗ")2Я]. 177. 60°. 195. Решение (черт. 99):
BP _ пл. Д BAP BP _ пл. Д ВОР
PC пл. ДСЛР ' PC пл. ДРОС '
отсюда
BP пл. ДВОЛ
PC ~ пл. Д СОЛ *
Аналогично выводим:
CQ _ пл. Д BOC AR пл. Д ЛОС
QA пл. Д ВОЛ ' RB пл. Д BOC " Перемножая, будем иметь
Черт 99
черт. уу. рс _. ^ (а)
Обратная теорема: если имеет место последнее соотношение, то прямые АР, BQ и CR пересекаются в одной точке; в самом деле, пусть О—-точка, в которой пересекаются AP и BQ, и пусть СО пересекает AB в точке R'. Тогда по доказанному
BP CQ AR' PC ' QA R'В ~~
отсюда и из данного соотношения (а) находим
AR __ARr_ RB ~ R'В '
так что точки RnR7 совпадают. 234. Нет, так как на окружности сколь угодно большего радиуса можно взять сколько угодно близкие друг к другу три точки
(слу.кащие вершинами треугольника). 237. -^- = -- и т. д.
Ответы. Планиметрия. Гл. XVIIL ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК 547
Глава XVIII. Геометрические места точек
1, Дуги двух окружностей. 2. Окружность. 3. Прямая, перпендикулярная прямой, проходящей через две данные точки. 4. Окружность в случае k Ф 0 (окружность Аполлония), прямая в случае k = 1. 5. Прямая линия (радикальная ось). 6. Прямая, параллельная радикальной оси и отстоящая от одного из центров на таком же расстоянии, на каком находится радикальная ось от другого центра. 7. Окружность. 8. Прямая, перпендикулярная диаметру, проходящему через точку О. 9. Окружность, проходящая через точку О. 10. Окружность. 13. Если данные прямые пересекаются, то заданное множество точек состоит из всех точек, лежащих на продолжениях сторон прямоугольника, для которого данные прямые служат диагоналями. Если данные прямые параллельны и заданная разность равна нулю, то прямая. Если данные прямые параллельны и данный отрезок меньше расстояния между ними, то четыре прямые, параллельные данным. Если данный отрезок равен расстоянию между данными прямыми, то множество всех точек плоскости, лежащих вне полосы, образуемой данными прямыми, а также все точки, лежащие на данных
