Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
X = 2 _|_ 2 j гДе г — любое рациональное число уф —2) * а) а = 1, б) а = — 1,
542
Ответы. Алгебра. ГЛ. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
»«0. 151. Г. Если т Ф I * т ф 3, то х ~ » У ~ т™\~^ • ПРИ т = 1
Q A if) — ЗХ '
система несовместна, при лг = 3 она неопределенна; общее решение у =-^—• >
х —любое число. -2°. х2 —2ху —2х + /? = 0. 3°. х = 4, у = 2 и х = 6, у = 1. 153. Полагая х = tg а, у = tg ?, г = tg 7, найдем:
X = tg ?-i (arc tg ft + arc tg с — arc tg a) j , У = tg [у (arc tg с + arc tg а — arc tg 6)J, 2 = *§|д (arc tg я+ arc tg 6 — arc tgc)].
(2)
Решение существует, если все аргументы тангенсов отличны от ± —.
154. Г. Решение уравнения (1). Если существует решение уравнения (1), то оно должно удовлетворять неравенствам 0 < х < Ь. Возводя обе части (1) в квадрат,
получим: __
х^а — х + Ь — x + 2V(a — x)(b — х), )
О < X < Ь J
Уравнение (1) эквивалентно смешанной системе (2) или системе Зх — (а + b) = 2 V(а — х) (b — х), О < X < Ь*
Если существует решение, то х>^-~-^. Возводя в квадрат, получим:
/ (х) ЕЕ 5х2 — 2 (а -И) X + (я — by = 0, 0<х< Ь, х>^±Л (3)
Система (3) эквивалентна (1). а) а ^ > Ь или Ь < ~\ в этом случае система (3)
не имеет решений, их не имеет и уравнение (1). ?) < Ь или Ь > ~% Решение1
уравнения /(х) = 0 будет решением уравнения (1), если оно удовлетворяет условию -^tA < X < Ь\ имеем f(b) = {а — 2Ь)2 > 0, /(~у^) - (а — 2Ь) (2а — Ь)<0.
Значит, корни хг и xfr уравнения f(x) = 0 действительны и при этом хг < <
о
< х" < Ь. Лишь больший корень есть корень уравнения (1). 7) b = -^-. В этом
t a-\-b г/а-\-Ь\ . n 0 л л
случае 0 =—g—, /(?)=0, /( — ~- 1 = 0. Второй корень -j^-; значит, — = х <
< Y = X^ = Ь. Корнем уравнения (1) является лишь один корень х". Итак, только
при условии а^С2Ь уравнение (1) имеет только один (действительный) корень-— это наибольший корень уравнения 5х2 — 2 (a + b) х + (а — b)2 = 0. 2°. Пусть а < 2я. Дискриминант^эункции /(х) в этом случае положителен: А' = (а~\-Ь)2 — 5 (а — б)2= = [а + Ь + 1^5 (<2 — ?)] [я -f- * —1^5 (а — Ь)\. Первый множитель положителен, значит положителен и второй: # + ? + 1^5 (а— b) = и2, a + b — (#— b) = v2. Отсюда
а = и2 (/5 + 1)+?;» (/5"-I) ь = (/5- 1) + у2 (Уъ + \) Далее находим:
Ответы. § 1. ТРЕУГОЛЬНИК
543
Отсюда VT0 = , „бо и > O9V > 0 (и > v). VcT=J0 = «(/5+I)-^(V?-!)
/10 2/10
Vb — X0= V ^ ^.^^^-— (рассмотреть разность г/2 (/5 + I)2 —
— и2 С/5 — I)2= ... = 8 /5 (2b — а) > 0). Теперь можно еще раз проверить (1).
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ГЕОМЕТРИЯ Раздел 1. Планиметрия
Глава XVI. Задачи на вычисление
§ 1. Треугольник
аЩи_1 а (УЗ-!) % з з
2/2 2/2
2?2с2 + 2с2а2 + 2а2Ь2 ~ д4 — Ь* — с4.
5
2я6с
6' а ha : 1^( па + hb + h) ( Ae + hb + A J ( Ae hb + h)(ha + Aft h) " Аналогичные выражения имеем для ft и с. 7. Равносторонний. 8. 30°, 60°, 90°. 9. 6 — 2/6 + 2/З — 2/2" и 6 — 2/6 — 2/З + 2/2; 10. Углы при основании
arctgA 11. -^r 12 .Up + q) Ypq. 13.-^-. 14. 25 (/3"-1).
15. /ЗЕШВ, ^HH), 1б. катеты: ^J^SZ^;
гипотенуза —2^L-. 17. ^VaT+aT+T2. 18. 3, 4, 5. 19. • 20- Стороны
треугольника относятся как 3:4:5. 21. Все углы по 60°. 22. jc (I + //2 + 8с2) и |/"с2-~ (/+//Ч8с"2)2. 23. -1Li. 25. 6 и 8. 26. Ав=| /Д>-*) (/>-*) (P^X р = ?±|+?. 2?> ^ = I /262 + 2с2-а2. 28. /в = JL-fbcp(p-a).
о _ abc
29. 4 = —— /6с (р — Ь)(р— с). 30. /г
Ь — с ' ' 4//» (р —д)(^ —ft) (р-с)
зі. г - / (Pj *)J?EST. 32. re = /" PlP-W-O .
33. /г;= a^ + c^L. 34. 4 = 35.m; = I/2-p+2ra
a AY p(p-a) (p-b) (р-с) a V p 3
36. A; e Jj^^^ + j^ . 37. /: = /*w=^
4Vi»(p-a)(p-6)(p-c) 2
38. m' = L/262 + 2с2-я2. 40. ka r- a{b~ + f*"*>----------------
6 _____ J____*Yp(p-"Hp -b)(p- c)_
f~a.bc (a3 +"P"+ с3 + 3abc — a26 — a2c — ЬЧ — ЬЧ — c2a — c2b) r2 /3
41. у Гбр (/>-<*)</>-*)(/>-«) •_ • 2
1 ._... /5 — 1 с ,/5-І b
43. у-У б2 + с2 ±/(б2+ с2)2-5(б2-с2)2 , —2~<Т< _Т_<7<
44. + 45. а = /6(6 + с). 47. | Ь - с | /2 = а. 48.60°. 49. 90°. 50. л (1 + ms), где m и и любые целые положительные числа. 51. -_-1 (*? — л») X
544 Ответы. Планиметрия. Гл. XVI. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
53,
X (Ьг — Ьх) — Oz3 — a{f(b2 — b3) 1. 52. 4s2 = [(а2 — а3) (A1 — A3) - fa - „3) X X (b2 - ?3)]2 + Kb2 - *a) (Ci ~ C2) ~ (h - 63) (C2 - c3)]2 + [(C2 - C3) (^1 - a3) -— (Ci ~ C3) (a2 — a3)]2.___
j/" і (a2 + b2 + C2 ± Y3(a + b + c)(a + b — c)(a — b + c)(b + c — a)). 54. 90°,
22°30',67°30'.55. 1^ + ^-^(^ + ^^)(^ + ^-0»)^ ^ ^V^Jyj.
58 |/c- + V^T^. гипотенуза ?i±j^±^e A
л
2^ Cl 1 ДО OZ^_ l/"«i2_ О.™ r> і/"m2_7_ ?/t (P2 + ^2)'
60. ill. 61. -±=. 62. _?С = //тг2 — 2w/?. 63. /m2 —с2. 64.
г УЗ /7?
65. /ш. 66. |-. 67. 6 и 4. 68. 45°. 69. n , ^n+,^w1 ¦—ч* 70- 70. 71. И"
5. и,. ,. UO. w. и.. (1 + X)(1 + fx)(1 + v). -72. 45°. 73. ~ (2а + *)/(* + За) (a—t). 74. ryz Y* V(r2y + r2z—zy2) (г2—у2— у г). 75. 45». 76. 22 ,, 77. _,.(« +78. „.^"^„, «¦
