Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
64. а) Окружность радиуса I с центром в начале координат; б) положительная часть оси Oy. 65. Окружность Аполлония (точки Zx и Z2 базисные).
66. 2" cos"-J(cos + /sin .
67.
1) cos 4^ + 1 r. + isln 4^ + 1 я, ft = 0,1, 2;
2) /2 (cos 8^"1 r. + / sin 8^"1 *j, k = 0, 1, 2; 3)/2~(cos 2^ + 1 rc + lsin 2^ + 1 я), ft = 0, 1,2,3; 4) cos ^ +/sin j , ft = 0, 1, 2, 3, 4, 5;
5)/3"(cos 2^ + 1 я + isin 2^ + 1 я), ft = 0, 1, 2, 3, 4, 5;
3 3
14 / 2&rc + arc cos -j= 2Ы + arc cos -j=. \
68. У"ЇЗ (cos-^-+ і sin-7 ^13 I = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
69. cos —+ /sin —, A = 0, 1, 2, .... л — 1. 70. a) / ctg—, ? = 1, 2, .... m —1; 6) ctg —, & = 1, 2, 3, ..., т — 1; в) -, где гк = cos--\- і sin
т ' ' ' п _ " п ' п
Z -4- 2*
k = 1, 2, л — 71. — ^2 + ^3- 72. 2 2 ' 7^' Площадь многоугольника.
74. Увеличивается на 4тс. 79. Произведение инверсии относительно окружности радиуса 1 с центром в начале координат на симметрию относительно оси Ox (перейти к полярным координатам; тогда гґ = 1, arg z' =— sin z). 80. Окружность.
_ і — zz -
82. У к а з а н и е. Проверить, что 1 — z'z' = —=-—— . Отсюда из zz =
\bz— а I2
= 1 (х2 + у2 = 1) следует z'z' = 1. 83. Многочлен приводится к виду (х + у + I)2 + + 2 Iy — -J-J Отсюда следует, что его наименьшее значение —-g- дости-
I , і л 5 9 5 ~- ab
гается при л;-f-у-f 1 = 0, у — — = 0, т. е. х = — -г-, у = —. 95.
103. 001001. 104. 001. ПО. 07. 112. 7. 114. Если п четное, то минимум равен ^Xn +Хп-\ + •>* +X п (^n +хп j+--' + *2 + -*^ ПРИ любом х3 удо-
влетворяющем условию: л: л <; л: <; л: л , а если л нечетное, то данная функция
2 T+1
достигает минимума, равного ^xn + хп_х + ... + Xn+1 ^ — п__г + ... + X2 + X1^
Уз
при X = Xn+1 117. Функция имеет наибольшее значение при sin ^ — -^—,
У3 Уз з Уз
sin у = > sin (л: + у) = -у-. Это наибольшее значение равно —^— • *35- *~*и-где не будут задержаны лишь 14-я, 23-я и 24-я машины. Ответ не зависит от
Ответы. Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
541
1 — Ix
расстояний между начальными пунктами. 136. Если а -+ bl = ^ , то |? +O1-I =
1 — /х
1 -f- и:
— =1. Таким образом, для того чтобы число
1 — tg2 2
1 + /х| /Г+
1 —- ix
a -f- bl можно было представить в виде ^ - г-, где а, Ь, х — числа действительные,
необходимо, чтобы модуль этого числа был равен единице. Поставим теперь вопрос
о достаточности этого признака, т. е. предположим, что | а + Ы | = 1 и попы-
, ,, 1 — Ix 1
таемся отыскать х такое, что а + bl = , где а, 6, х — числа действительные.
і -j- /х
Обозначая через ср аргумент числа а -\- bl, находим а + Ы = cos 9 + / sin 9 =¦
= 1+tg21~~ = "(1+/ tg і-) (i~7^jy =
1 + /tg^ I"" , T n
= —-—— = j і . , где X = — tg -у. Проведенная выше выкладка имеет ме-
1 _ / tg ±. 1 + *
О TZ
сто лишь в том случае, если ~- ф (2/г 1)-^-, где /г — число целое, иначе
ср =/= (2& -f- 1) т. е. cos ср — 1, а так как в случае cos 9 = — 1, sin ср — 0, то я -}- />/
___^
равно — 1. С другой стороны, если я ~f = — 1, то соотношение — 1 =
1 —}- IX
не выполняется ни при каком действительном значении х. Итак, если а + Ь[ф—1, то условие I <2 -j- 1 = 1 достаточно для того, чтобы число я -f- 6/ (а и 6 действи-
1 — ^
тельны) можно было представить в виде 2 ^, где х—действительное число.
о 1 /10л + 1 —10 \ 9
138. — 1 <р<\. 140. С,2г+2. 142. у(-д--/Zj. 143. -35. 144. |т|>-~.
145. Уравнение имеет три действительных корня. Значение этих корней с недостатком, с точностью до 0,1: X1 ^—1, 3; х2 = 0; X3 ^ 0,7. То, что уравнение имеет три корня, можно установить графически. Указанные приближенные значения
5 _г 5 _
корней следуют из неравенств: Y — 1>3 >—1,3 + 0,2;]/"—-1,2 < 1,2+0,2; отсюда с точ-
5 5
ностью до ОД с недостатком; X1 = —1,3. Далее, ]/0 < 0 + 0,2; і/0Д > ОД + 0,2; отсюда
5 _ 5 _
с точностью до ОД с недостатком; X2^0; наконец, УЪ,7 > 0,7 + 0,2; |/"о,8 < 0,8 + 0,2; отсюда с точностью до ОД с недостатком X3 ^0,7. 147. Система имеет единственное решение, если 4 — к2 Ф 0, т. е. & ^ ±2. Предполагая это условие выполнен-
6 3 6 3
пым, находим: х = gqr^ ' у = 2+~k' И3 Условий 2+Ъ ~~ 1 > °' 2+~? > 0; П0ЛУ" чаем — 2 < & < 4. Если k==~ 2, то система несовместна. Если k = 2, то система сводится к одному уравнению x-f-2y = 3, откуда х = 3— 2у и решений, удовлетворяющих поставленным условиям, в этом случае бесконечное множество: у — любое
число из промежутка 0 < у < 1, а х = 3 — 2у. 148. Положим х = — tg -|-. Тогда
1 + " i_ng| Cosf-isin|
= COS 'f + I Sin ср
и данное уравнение принимает вид cos 4? + і sin 4cp = /; значит, sin 4?-= 1, 4cp = ^ + + 2?~, + а корни: X1 = — tg~, X2 = — tg , *3 = _ tg ¦^-,
г;4 _ tg _u (все корни —действительные числа). 149. Положим ух2 — х + 1 =
-~хЛ-г. Тогда }^х2 — X + Г при рациональном х будет рациональным тогда и только тогда, когда г рационально. Находим х2 — х -f 1 = х2 -f- 2хг -f г2 и, значит,
