Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Она, по условию, пересечет все п прямых в п различных точках и, значит, пройдет по л + 1 кускам плоскости, каждый из которых она разделит поэтому на два куска. Таким образом, добавится е це п + I кусков, и общее число частей плоскости будет
/1(/1+1) 1 , (/2 + 1)(/2 + 2) 0
1 _|--1_!—L -+ лг -+ I = I-J--!-^—і—. Последнее выражение получается из
1 _|_ ^_(« M} f если вместо п подставить л + 1. Таким образом, формула доказана
4 • 5
методом полной индукции. Например, при п = 4 имеем 1-j—=== И (ч^рт. 93).
Ответы. Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
539
5 • б
При /2 = 5 имеем 1 -I—2—= 16 (сделать чертеж!) и т. д. 5. В качестве примера рассмотрим конфигурацию, приведенную на черт. 94. Здесь t = 5, / = 16, р = 12 и действительно t — / + р =Ъ —16 +12 = 1. Теорема, очевидно, верна для л = 1, т. е. для одной прямой. В самом деле, для одной прямой t = 0, / = 1, р = 2, так что t—/+/?=- 1 Предположим, что теорема, верна для л прямых, т. е. что для л прямых t — /+/? = 1 Проведем на плоскости л + 1 прямых. Выделим из этих прямых любые л прямых, Пусть M1, M2,..., Mk — точки, в которых л+ 1-я прямая Ln + 1 пересекает л вы деленных прямых L1, L2, Ln. Предположим сначала, что все точки Af1, M2, ..
Mk новые, т. е. что прямая Ln + 1 не проходит ни через одну из точек взаим ного пересечения прямых L1, L2,..., Ln (черт. 95). Для прямых Lx, L2,..., Ln соотношение t — /+/?=1 мы предполагаем выполненным. После проведения прямой LnhX к числу t добавится k, к числу / добавится k + 1 + k = 2k + 1 (так как каждая из прямых L19 L2, L%, Ln разделится на две части и, кроме того, сама прямая Ln^x точками M19 M2, Mk разделится на k-\-\ частей); наконец, к числу р кусков плоскостей добавится еще k + 1 кусков (границами этих кусков будут, между прочим, те & + 1 частей прямой Z„M, на которые она делится точками MХ9 M2,..., Mk). Таким образом, tx —11 +Pi = (t + k) — (/ + 2& + 1) + + /? + & +1=/— /+/7 = 1. Не меняется дело и в том случае, если среди точек Af11 Af2» •••f Mk есть старые точки, т. е. точки взаимного пересечения прямых /м» ^2» •••» L-п (черт. 96). Пусть, например, в точке Af1 пересекается q прямых L19 L2, ..., Lq. Эту точку M1 мы поэтому будем обозначать так: Af123 ... Теперь число t точек уреличится на k — q, число частей прямых увеличится на k — q + + 1 + k — q, а число кусков плоскостей увеличится на k — <7+1, так что опять U — Ix + Pi = (t + k—q) — (I + 2?— 2q + 1) + (р + k — q+l) =/ — /+/7=1. Таким образом, незаЕИсимо от того, являются ли все точки Ali, M2, Mk <новыми.» или среди них есть <старые>, притом с любой кратностью, мы всегда будем иметь Z1 —
— Л+/7. = 1» если предположить, что соотношение / — / + /7=1 верно для л прямых. Но это соотношение доказано для п =* 1 (для одной прямой), значит, оно верно для любого л.
Глаза XIV9 Необходимость и достаточность
1. Будет, 2. Будет. 3. Вообще говоря, нет. 4. Вообще говоря, нет. 5. Будет, б. Достаточный. 7. Достаточный. 8. Необходимый и достаточный. 9. Необходимый. 10. Необходимый. 11, Достаточный. 12. Необходимый и достаточный. 13. ахЬ2— а2Ъх =0, но хотя бы одно из чисел ^1C2 — Ь2сх или сха2 — с2ах не равно нулю. 14. O1^2 — а2Ьх =
— O1C2 — Ь9сх = сха2 — с2#і=0, но хотя бы одно из чисел аи Ьх, а2, Ь2 не равно нулю или же ах = Ъх = C1 = а2 = Ъ2 = C2 = 0. 15. Будет. 16. | а — Ь \ < с < а + Ъ. 17. Достаточно. 18. Необходимо, 19. Если а ф ?, то необходимо и достаточно; если а = ?, то только необходимо. 20. Необходимо. 21. Достаточно. 22. Достаточно. 23. Достаточно. 24. Необходимо и достаточно. 25. Необходимо. 26. Необходимо.
27. Необходимо и достаточно.
Глава XV. Разные задачи
1. (2,2) и (0,0). Указание. Переписать уравнение в виде (х — 1) (у — 1) = 1. 2а а) (6,6); б) нет решений; в) нет решений; г) (17,5); д) (9,11). 3. (3,2), (—3,4), (-7,6),(-17,12), (-3,-2), (3,-4), (7,-6), (17,-12). 22. (4,3,1) и (8,1,2).
J I r г + г2 г2_3
23. Y+J2 и г+72' где г Рационально- 24- У = 3х + г, х==7—-—,
9 + 7г-Зг2 25 у_4,гг -8'+ 5 4г2 + 5г + 8
26. у = (х-1)г9 х = ^±^, у = -*!—. 27. (17,3), (1,3), (18,4) и (6,4).
28. (±37, т 33), (±2, ± 3). 39. 12 600,720,-252. 45, 2s = (l2 + 22+ ... +л2)2 — __(14+2< + ... + л<) = ~ л(л2-1)(4я'-1)(5л + 6). 48. /71, = 5. ma=«-g.
54. еах + е~ах. 58. Tz ctg TZ х. 57. Cx1 где С = const. 59. a) cos 2а + / sin 2а;
а2 —6» , , 2ab . 44 — 5/. . -^1—32/. ч 0 ™ ч , , . . .
б) -^2+1? + '^+-^; в) _-;г)—; Д)2.60.а)а» + *» + с»-*с-
— са — я&; б) а3 + 6» + cs + 12аЬс—3 (аЧ + а*с+Ь*а+Ь*с+с*а + с2Ь); в) а* —• + />*. 61. ± y^^f — -f ±; j/^^ + T- 62. a) cos it + / sin я; 6) cos ¦y + / sin -|;
в) cos ^^) + /sin(-|);r)2(cos^ + /sln J); д) 2 [cos (--J)+/sin (-^)];
Ответы. Алгебра. Гл. XV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
е) 2 [cos (— -j) + і sin (- -g-)] . 63. a) /13 [cos (arc cos + і sin (arc cos ^ .
б) /13 [cos (- arc cos JLj + і sin (- arc cos ^L)J;
в) /ЇЗ [cos (я — arc cos LLj + і sin (я — arc cos LLj J; r) /ЇЗ [cos (я + arc cos y=^=j +1 sln (71 + arc cos /fg)] '
