Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
d тл » а х2п
вательности х2, х4, х6, ...—через В. Из соотношении х2п+\ = т^---2~~~'
а х\п_х а В2 а А2 X2n =2"--2— переходим к пределу, находим: А = -^---, B=*-^--?т~ »
J[2_ ?2
откуда A-B =---, или (А — В) (2 — А — В) = 0. Так как А и В положительны, причем А <; -^-, то их сумма меньше 1 (0 < а < 1) и, значит,
а А2
2 — А — ВфО, поэтому A — B = 0, откуда А = В. Итак, A = --g", откуда:
A2 +¦2A-а = О, A = Yl + а — 1 (второй корень этого квадратного уравнения отрицателен, следовательно не может быть равен A1 так как А > 0). 11. Доказательство. Предположим, что х0 выбрано так, что х0 > 0 или х0 > Ya *• Докажем сначала, что X0 > X1 > Ya. В самом деле,
1 / а \ х\ — а так как по предположению х0 > а. Далее,
„-/^^(^ + ^-/«-=^(4-2^ Га+a) J^fI >0.
Итак, х0 > X1 > У я. Докажем теперь, что X0 > X1 > X2 > ... > Xn > Ya. (1) Для доказательства предположим, что написанные неравенства верны; докажем, что тогда будут верны еще и такие неравенства: Xn > Xn+1 > ]/"#. В самом деле, __ v 1/ а\ хп~ а 9
хп — хп+ \ ~~ п 7г I хп Л--J = —о-> 0, так как по предположению х?п > а.
? \ XnI
Далее,
хп+, - Ya = j (х„ + iL) - /? = JL {х\ - 2ха Ya + а) = ±- (хп - /я)г > 0.
*) Случай х0 < а и х0 — а предлагаются читателю исследовать самостоятельно.
534
Ответы. Алгебра. Гл. X, СУММИРОВАНИЕ
Итак, X0 > Xx > X2 > ... > хп > xn+i > Ya. Но цепь неравенств (1) доказана для /г = 1; значит, правильность неравенств (1) доказана методом полной индукции для любого п, т, е. X0 > X1 > X2 > ... > хп > .,. > Va - Таким образом, последовательность x0t хх% х2, хп, ... убывающая и ограничена снизу (xn>Va)\ следовательно, эта последовательность имеет предел. Так как xn>Ya, то этот предел X будет >У а (неравенство в пределе сохраняется или переходит в равенство): x*^>VcT, значит X > 0. Переходя к пределу в обеих частях равенства Xn+1 ==
= ~ ^xn + -^Pj и замечая, что Hm Xn+ х = х, Hm хп = х, будем иметь х = у (х + , 2х = X +Я-г X = ~ , X2 = a, X= ±Уrа. Но мы уже доказали, что х > 0, значит je — Ya. 12. Указание. Применить метод полной индукции.
Глава X. Суммирование
1. (я _|_ і)! _ 1. 2. Указание, п (п + 1) (п + 2) (я + 3) — ( п — 1) п (п + 1) (я + 2) = = 4я (я + 1) (я + 2). Ответ: -І л (я + 1) (я + 2) (л + 3). 3. п(п + *)С2п+1) 9 \—хп пх" + * е я2(л4~1)2 * , п«-іл(л + 1) п х2 — Хп+* ,
(I—*)2 1— * ' ' 4 • -\ / 2 ' (1 —л:)3
д:_(2я + 3)л:я + 2 (п + i)2 ^Az+i 2(1—^ + 1) 2(я + 1)
+ (I—.*)2 1—* * (1—*)3 О—-*)2
n(n+l)xn-i і (/г!)3 (я+I)2 (я+ 2)
v 1 7 9. -отч- я (я 4-1) (бя3 + 9л2 4- п — 1). 10. 1 ' х 1 7
1-х 4 30 v* 1 iyv ¦ » iy* ' 2" + 1
П. "(/I,2+1) . 12. (я-1)3 + я3. 13. \ [п2 4- 1+<-1)"|]. 14. і(я-1)яХ X (»+1)(3/.+ 2). 15. а) ^(» + 1)2(2я2 + 2я-1); б) я (я-Ы) (Зя|+6я3-Зя4-1), в) ^(п+1)2(Зя^ + 6я3^я2-^4я + 2)< № ^я(лі^1)(4л,.1)(6і| + в). 17. ^+ 1H^-J). 18. ig. 2(/1-1)+2«-. 20. 1+(/1-1)3«.
+ (а2-2а,)х2-х^ [fLZ-^L (_ I)^ + 1 +°*+2L3»*>] -З** + 2 p-^L(_ 1)" ^_ сі2 + а
l-3n + 2 Jj.
12
Указание.
#з — 2#2 — 3^1 = 0, #4 — 2#з — Зя2 = 0, — 2#4 — 3# 3 — 0,
ап — 2ап_х — Зап_2 = 0.
Далее умножаем первое соотношение на х3, второе на х\ последнее на хп и, складывая почленно получаемые равенства, получаем: 5 — а{х — а2х2 — — 2л: (s — U1X- апхп)-—3х2 (s — Un^1X4'1 —апхп) = 0. Отсюда находим 5. Затем надо найти общее решение для заданного рекуррентного соотношения и выбрать C1 и C2 так, чтобы первые два члена последовательности были равны а{ и а2.
Глава XI. Комбинаторика
77=^-?—]} 2- Т2' 3- ^ 240; б> ба 4- ~2-п(п-1). 5. Слп. 6. 60. 7. 3я. 8. Зт2. 9._HtI__nl (clrV io n(n-l) m(m-l) „(я-1)(я-2)
m (1П-\) {m-2) n(n-l)(n-2) m(m-\)(m-2) _9
1-2.3 11 ГТ^З Г2^3-* 16' и'
Ответы. Алгебра. Гл. XII. ИНДУКЦИЯ
535
14.-^-—J^--16- -Ь2 ^+^H--JT5—+ +
+ .?l?zUL(m + /i) + OT/ip. П. 3999 960. 18. 839 991 600. 19. 239. 20. ~п(п — 4)Х
л(я—1) т(от —1) . л(л—1)(я —2) т2п(п—\), X (л-5). 21.2^?^ V2 т+-Ь2Тз--g->л+/г-3).
22. -1 (Л — 1) (л — 2). 23. Применить метод индукции. 25. 7. 26. а) /г прямых могут
разделить плоскость на 1 +-^^1— частей; 15 прямых на 121 часть; б) на
14 частей 27. х = 2. 28. 264 делителя; сумма всех делителей, включая 1 и само число, равна 319 987 040. 29. Цифры 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 встретятся п- 10п~1 раз.
Цифра 1 встретится 10я"1+1 раз. Нуль встретится /г (10я"1 + 1) ¦- 10^V раз.
ж С2. Зк 4L=IiL. 32. 1-(л — 2) (л — 3) (л — 4). 33. 1568. 34. от (/i + 1) +
+ JL^Hl!)- +1.35. . 36. 57. 37. 96. 38. 480. 39. 30. 40. 4 (Cj3)3Cf3 +
+ 6 (Cj3)2 (Cj3)2 == 7 682 544. 41. CJlJ^1, если 5 = 0, то С*. Задача не имеет ре-шений при n<k(l+s). При /i = A (1+s) число различных ^-угольников равно 1 + s. 42. 64 800. 43. 64 800. 44. 55. 45. 3 265920. 46. -^L С?;*Гр* 47. CJ1?*.
