Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
mm 0, xі — 4х + 4 0, ж, «* ха =« 2. Система (I) при х = 2 при-
—1 1 — X
нимает вид A1 + » 0, —A1 — ^2=3 0, откуда, например, = 1, =* — 1, ал =¦ 2Л, 6^ = -2^. Ищем другое частное решение б виде аа = (s1 + п) 2п, ba = (s2 — п) 2п.
б)
532
Ответы. Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Находим (S1 ф л ф 1) 2"+1 = 3 (S1 ф л) 2п ф (s2 — п) 2п, (S2-
+ (S2 —- л) 2а2, откуда S1 = I, S2 = 1; значит,
-1)2":
решение: ап = [C1 + C2 (1 + л)] 2я, bn = [—C1 + C2 (1 ¦ находим C1 =3, C2 = 2, так что ап = (5 + 2л) 2Л, 6Я ;
<1+л)2Л, *„ = (!¦
¦(51+л)2Л + -л)2л. Общее
¦я)]2Л. Для O1 == 14, Ъх = —6 -(2л+ 1)2"; в) ^+1=3^„
/?/2 = 3?, #я+1 = 7ал, ап = C1?72, 6Я = 3C1T* — две прогрессии. 47. Обозначим через M наибольшее из чисел U1I и U1I, а через т — наибольшее из чисел U11 + 1^.1
и
P2 I + I 421; тогда a2| = Ui/>i + *i?iKUil 1*2 I = I 01/?+ *1?2 KUi I я31 = I ^2A + *2?i К Ua! і &з I < М/л2
+ l*il l + l^i I
Ul I + 1*2 I
Ui U2
^K^(Uil + Uil)<^, ^*\<М(\р2\ + \д2\)^Мт,
qi I < Mm U1 I + Mm U1K Mm2,
an I < Mmn Если Д =
и т. д., вообще:
Pi
Р2 #2
заключается в том, чтобы корни X1 и X2 уравнения модулю меньше единицы. Если
Ьп I < Mm"'1, а так как 0 < т < 1, то Hm = О 01
О, то необходимое и достаточное условие рх~х qx
Р2 q2 — '
¦ 0 были по
Д=0, а X— такое число, что P2 = Xp1, q2 = Xqx, то необходимое и достаточное условие сходимости к нулю данных последовательностей имеет вид I рх + X^1 I < 1. 50. Рассмотрим две новые последовательности: ип = хп — х0, vn = уп — у0. Тогда хя = ип + х0, уя = vn + у0; значит, ип+ х+х0 =
: (CLx + 1) (Un + X0) + Ьх (Vn + у0) + C1, 1/л4. ! + y0 = fl2 (Un + Xc) + (*2-f 1) («Я+Уо) + С2. ИЛИ Un+i = (A1 + 1) Un + + Яі*0 + *0'о + СЬ Vn+1 = O2^ + (*2 +I)Vn + O2X0 +
+ *2Уо + Ся» а так как axx0 + bxy0 + сх = 0, я2х0 + *гУ0 + с2 = 0, то Un+1 = = (л, + 1) ия + ^1Vn, = ?2w/2 + (b2 + 1) г/я. В силу условий | ах + 1 | + | bx | < I1 І д2 I + 1*2 + 1 I < 1 последовательности нл и г//г сходятся к нулю, а значит хл и уп — соответственно к X0 и у0. 51. Решение аналогично предыдущей задаче. 52. ап = - /JC1 (1 + 2/f + C2 (1 — 2і)п], Ьп = C1 (1 + 2i)n — C2(X- 2і)п. 53. Первыйспо-с о о: решаем систему х = у + 5, у = — х + 3, находим х = 4, у = — 1. Вводим две новые последовательности ип = ап — 4, vn = bn + 1. Тогда Un+х = vn, Vn+1 = — w„ и т. д. Ответ: ап = 4 +i[Cxin + C2(— /)"], bn = — 1 — Cxin + C2(— l)n. Второй способ: an+2 = bn+x + 5 = — an + 8, откуда an+2 + an = 8. Ищем частное решение в виде Cin = C (где С постоянное), находим С + С = 8, откуда С = 4. Рассматриваем новую последовательность Un = ап — 4; тогда Un+2 + Un = 0. Составляем характеристическое уравнение х2 + 1 = 0; его корни ±/. Общее решение: Un = Cxin + + C2(—i)n, а значит ап = 4 + Cxin + C2 (— /f, откуда Ьп = ап+х—Ъ =— \ + + C\in + C2 (— i)n, что лишь обозначениями постоянных отличается от ответа, полученного выше. 54. Решение лишь до некоторой степени аналогично решению задачи 46. Существенной особенностью здесь явится исследование кратных корней уравнения
Рх — х qx гх
P2 Ръ
q2-
г г —X
:0.
В случае, например, а) система
двукратного корня х = X1 = х2 возможны два случая:
(А)
k*2*, &з*. Если при этом то общее решение будет
(P1 — X1) kx + qxk2 + rxkz = 0, P2k\ + (q2 — X1) k2 + r2kz = 0, Pzk\ + qsk2 + (rz — Xx) kz = 0
имеет два линейнонезависимых решения: k\, k\, k\ и /г**, kx , k2 , ks — решение той же системы при X = X3 ф X1, иметь такой вид, как и в случае отсутствия кратных корней:
К = C1*^ + 4 + с3***Ч".
сл = C1^3X" + C2^3 х2 + C3^3 х3.
Если же все решения системы (А) пропорциональны, то придется еще искать частное решение в виде ап = (Sx ф kxn) xrt, bn = (s2 + k2n) xn, Cn = (s3 + къп) xn.
Ответы. § 3. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
533
§ 3. Произвольные последовательности
12 1 2 12
I4 2. _. 3. -л-. 4. Указание.
4 8
TZ TZ
sin ~F%nznT" ~ sin
2^+1 - ол" 2"+1 -; последовательность с общим членом- сходится
2^+1 2Л+1
к 1. 5. 2. 6. ~. Указание. У" 2 = 2 cosУ 3 = 2cos |. 7. 1±і^±і?. 8# у к а.
з а н и е. Последовательность аь b2l аъ, bAl .. .— возрастающая, ограниченная сверху; последовательность bu а2, b3, а4, ... — убывающая и ограничена снизу, Hm (ап—Ьп)=0 (это следует из тождества, которым ап и Ьп связаны саиб, и условия а < Ь < 0).
г_ х\ а2
9. 1+у 1-а. 10. X2 — Xi=--2~ =--g~ < 0, так как a 0; значит, X2 < X1]
а х\ а а2 а (4 — а) так как х2 = у--2™ = 2"--8"^-8-> °' Т0 0 К *2 < Хх' ^алее *3"~*2 =
1 о *2
= (xj — х|) > 0; значит, X3 > х2, X3-X1=--, X3 < X1. Итак, X2 < X3 < X1.
X(^ — Xg Xj Xg
Находим X4 — X3 =-2-< Ф значит, X3 > х4; X4 — X2 =-^-> О» X4 > х2.
Итак, X2 < х4 < х3. Аналогично находим, что X4 < X5 < X3 и т. д. Таким образом, последовательность X1, х3, X5,..., х2л+1, ... убывающая, а последовательность х2г х4, ..., х2л, ... возрастающая (это следует доказать методом полной индукции). Обозначим предел последовательности X1, х3, X5,... через A1 а предел последо-
