Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
г>' а«- 1+р + ? " +-(Г+7+9Р-+ Qx1+C2X2,
где X1 и X2 — корни уравнения Xі + рх + q = 0, Ci и C2 — произвольные числа;
г>> =«(т + 4Vg+^)+ с'+с><'+
г)3 я„ = rfi (| n + -Ц^-) + C1 + С2п.
34 П. С. Моденов
530
Ответы. Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
37. C1+Il^. 38. 1 + 39. "<* + 1>(* + 2> . 40. ая = п* + 2п* +
2 — і 2 6
+ 5л — 5—2Я+3Я. 41. C1 + -у-. 42. 5я+2 - (—4)я-~3 • 2я. 43. —2" + C1 (—4)я + С22я. 45. ^z72+4— 4Х cos ja ^+3 + 4X2(1 + cos2 ja) an+2 — 4l3 cos ^an+1 + Х4ял = 0; (1)
соответствующее характеристическое уравнение: х4
или
х* — 4 cos {JLX3 + 4Х2 (1 + cos2 fx) X2 — 4X3 cos jax + X4 = 0, [x — X (cos (л + I sin [j-)]2 [x — X (cos [л — / sin [л)]2 == 0
(отсюда и надо исходить). Из (1) (обозначая искомую сумму через Sn) находим: Sn - U1 — а2 — а3 — а4 + an + l + ап+2 + ап + 3 + an+i — cos (л (sn — ах — а2 — а3 ф + an + l ф Яя+2 + ял+3) + 4Х2 (1 + cos2 ja) (5Л — ах — O2 + ял + 1 + ял+2) — 4Х3 cos ja X
^4
X (Sn- ах +an+l) + l4sn = 0, откуда 5Л = —, где А = I cos (л + 2Х2 cos 2fx +
+ ЗА3 cos 3-х + 4Х4 cos 4[л — (л + 1) X"+1 cos (л + 1) (л — (л + 2) Xа2+2 cos (л + 2) ja —
— (л + 3) X"+3 cos (л + 3) [л — (л + 4) Xя+4 cos (л + 4) [л — 4Х cos ц [X cos ja + 2Х2 cos 2^ф
ф ЗХ3 COS 3[A — (п + 1) Xя + » COS (Л + 1) [л — (л + 2) Xя + 2 COS (л + z) [л — (л + 3) Xя + 3 X
X cos (л + З) [л] +4X2 (1 + COS2Ix) [X cos [л + X2 cos 2[л —(л + 1) Хя+і Cos (л + 1) ^—
— (л + 2) Xя+2 cos (л + 2) [л] — 4X3 cos р [X cos <л — (л + 1) Xя+1 cos (л + 1) [л], ? = 1 —.
— 4Х cos [л + 4Х2 (1 + cos2 (л) — 4Х3 cos ja + X4. 46. Будем искать частное решение в виде an — &2хя, Ьп = k2xn. Это приводит к системе:
(P1-X)It1-^q1K2 = O,
p2ki + k2 (?2 —-*) = о.
Для того чтобы эта система имела относительно kx, k2 ненулевое решение (kx = k2 = 0— нулевое решение приводит к тривиальному решению: ап = 0, Ьп = 0 при всех л),
P1-X qx
необходимо и достаточно, чтобы
: 0 (2). I. Если это уравнение имеет
р2 q2 — x
простые корни X1 и х2, то из системы (I) при X = X1 находим какое-нибудь ненулевое решение: ^1 = U1, ?2 = &2> Для х~хг находим ненулевое решение ki== ^1*, k2 = k*2*, которое в силу X1 Ф X3 не будет пропорционально первому. Так мы найдем два частных решения:
an = ^x1*, bn =* k\x\\
t,** n и ft
an = X2> ®n ~ A2 x2m
Общее решение:
В самом деле, при л = 1, получаем:
ах = C1^1X1 + C2k**x2,
O1 = C1U2X1 + С2^*х2. Эта система разрешима относительно C1 и C2, ибо ее определитель
(3)
^1X1 kl X2
kr, X су
kl kX
— X1X2
k2 k2
Ф0,
так как X1 ф 0, х2ф 0 в силу Д Ф 0, а
*2 4'
?=0
в силу того, что X1 и X2 — неравные корни уравнения (2), поэтому ненулевое решение kv k2 системы (1) при X = X1 не пропорционально ненулевому решению ^1*, k*2 той же системы при X = х2. Таким образом, из системы (3) находим:
Ответы. § 2, ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
531
так что искомое решение в этом случае
an = kl
¦Mi
X1 {k\k^ — ^2^Г)
а ь« *1*2 ""Ml
X1 (U1^2 '—Ml J
х?+&:
1 X2 (?*?** — k*2k~)
II. Пусть корни уравнения (2) равны между собой. В этом случае находим, как и ранее, частнсе решение ап = ^1X*, bn=^k2xlt где kv k2— ненулевое решение системы (1) при х=* X1(^x2). Будем искать другое частное решение в виде ап =3 (S1 + JzxTi) хпу bn = (s2 + k2n) X1K Тогда мы получим две системы:
(Pi — X)It1+ qxk2 -О, (рх — X) S1 + ^1S2 =* U1X,
*i/>a + (fr — х) h = О ^2S1 + (q2 — х) S2 =« ?2х.
Первая система совпадает с слстемой (1) и поэтому ее ненулевое решение (при X = X1 =* X2) можно считать совпадающим с взятым выше ненулевым решением k'v U2 (все ненулевые решения пропорциональны). При X = X1 (= X2) из второй системы найдем S1 =* S1, S2 =» S2; так как X1 ^ 0, то это решение будет ненулевым и не будет пропорционально &*, k\. Таким образом, мы найдем второе частное решение:
аа - {s\ + k\n) хпх% Ъа - ($1 + k\n) xnv
Общее решение:
*я- C1^x? + C2 ($1 + к\п) х», K-C^ + C^sl + kln) xl
Это решение является общим, потом? что из него при п -всегда совместная относительно C1, C1:
^+(ї+^с*-^,
^ + (kl + s^C^-^,
¦ 1 получается система,
отсюда
C1 =
а общее решение:
и* Ді(^2 + ^2)-^1 (^1 +^T)
C2 =
+
Ml — аІк2
*і(*а—VJ
X1 (^1S2-A2S1)
(S2 + &*tt)
:0, X2—5х+ 6==0,
III. Пусть, наконец, А=0; тогда р2 =¦ ^Pi, Q2 я ; значит, bn+l =» Хял+і при всех я, значит и #л =¦ Ian, а потому из ^+1 =* рхап + qxbn находим ап+ \—(рх + Mi) ап = °-Если /?і + X^1 = 0, то имеем только одно решение: ап =»0, &я =* 0. Если рх + Iqx Ф 0, то ап =а C1 (/^1 + ^7і)л* &л = ICx (Pi + Vi)'1 — две геометрические прогрессии.
— 2 — ж 4
Числовые примеры: а) уравнение (2) имеет вид
— о і "™ X
X1 =2, X2 =«3. Система (1) при х«*2: — 4^1 +4&2 = 0, Ux = k2 =* 1; при х = 3: — 5^1 4-Ak2 = 0, ki =4, ^2=3S. Частные решения: ап=*2п, Ьп = 2п\ ап =4-Зп, Ьп = 5- Зл. Общее решение: а„ — C1 • 2п + C3 • 4 . 3", 6Л =* C1 • 2" -j- 5C2 • Зл. Решение, соответствующее данным начальным условиям: ап = 2п — 4 • о", Ъп = 2п — 5 • Зл; 2_\