Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Арифметическая и геометрическая прогрессии 1. 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 или наоборот. 2. 20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, —2; —4; —6, —8;
-10- -12-3- ^^(^-1)-^7-1)-4-3-*7; 4-5-6 и 5> 5-5-
5. 4, б, 9 и б, 6, б. 6, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. 7. 4, 12, 36 и -i, — •^-, M.
528
Ответы. Алгебра. Гл. IX. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
8. 3:5:7.9.2(/6-1).2/6, 2(/1+1). 14. ^=IA. 16. s = * ^Г,*}—+ ^2.
17. 2а= b (Зл2 ± л — 2). 20. ^ ^ Sn-\sn- 21. Достаточность доказывается методом
индукции. 23. ат = /31, *„ = А (*)* . 24. іЦрі < , < 1±р-. 26. .
Ok Q Q 1oq Cl
27. 2, 4, 8, 12и-у,у,|, |-. 28. 17, 20, 23 и -^-, 20, ~. 29. 16, 24, 36, 54
и 54, 36, 24, 16.
22 ?fe _cos kx + / sin &x_
~~ COS (?— 1) х + /sin (&—1)х~"
(COS &Х + / Sin &Х) [COS Vk—1) X — /Sin (k— l)xl , ,,1Vi
=--!-о ,и л\ і-^TTZ-Тч—--—^- = cos cos (k—l)x4-
cos2 (^ — 1)х + sin2 (? — l)x 4 7 1
+ sin kx sin (k — 1) X + і [sin &x cos (& — 1) X — cos kx sin (k — 1) x] = COS X +1 sin X,
так что действительно данная последовательность — геометрическая прогрессия. Ее сумма
— (cos nx + і sin nx) (cos X + / sin x) — (cos X + і sin x)
Л ~~" COS X + / sin X — 1 ~~
[(cos nx + і sin nx) (cos X + і sin x) — (cos X + / sin x)] (cos X — 1 — і sin x) ~~ (cosx—l)2+ sin2 X ~~
— cos nx — 1 — cos (/z + 1) X + cos X + і [sin nx — sin (n + 1) X + sin x]
4 sin2 ~
, nx n + 1 . ЛХ . л + 1
Sin -тг- COS -^- X Sin -=- Sin -^-X
я-І-І--(-/-І-І-
X і ,X '
sin -j sin Y
отсюда
COS X + cos 2x + ... + cos nx ¦ sin X + sin 2x + ... + sin ЯХ :
, ЛХ n + 1
sin cos —2— x
X X
sin2
, nx n + 1 sin-g- sin-g-X
. *
sin y
35. 3, 6, 12; 12, 6, 3; A (9 +/65), -6, —1 (/65-9); -1(/65-9), -6, Y(9 + /65). 36. 2, 6, 18 и 18, 6, 2. 37. -^— (для |/2" берется n значений).
V2
1
39. а, За, ба,... 40. а = (-^-)ь,~*. 41. 4/>2 = 25?. 42. 4, 10, 16, 22,... 43. 3:4:5. 44. »<»+g("+2>. Указание. fl<i » ^±1> м j. [" (" + U (*+? „ (»-D * (n+l)j ^ 45> /»/>(*/>+ 1) ^ 47в о. 48. 1488. 49. 510 (ах = 2, q = 2) и ~ (^ = 16, q = j). 50. 100, 51. 100. 52. 4 или —2. 54. —2, 1 ± ^15 . 55. —у, "~ 1 * ^ ¦
§ 2. Возвратные последовательности 1. С^ + Са-З". 2. C1+ C8-3я. 3. C1 (~~1Нз/іЛ5) + с»(""1"^/іГ5) или C1 cos -j- + C2 sin -g—. 4. C1 ^—4g-J + C2 ^-2-J • 5- (Сі + ^)2"-
Ответы. § 2. ВОЗВРАТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
529
6. (C1 + С2л) (—1)л. 7. C1(Zl/^+ C2 (—//Ж 8. Сх + С2(-\)п. 9. C1- 2я + + C2. 3« + C3 • 4«. 10. C1 + C2 (-1)« + C3 (-2)". п. C1I» + C2 (-*)" + C3 • 3". 12. C1 (— 1 + 30я + C2 (— 1 — 3/)*+ C3-5*' 13. C1 + С2п + C3 (-2)". 14. (C1 + + С2п) + (-4)" + C3 (-2)". 15. (C1 + C2az + C3AZ2) 2я. 16. C1 + C2AZ + C3AZ2. 17. (C1 + С2п + C3m2) (—1)я. 18. C1 cos Ага + C2 sin Aza + C3. 19. 5. 2я — 3"+*. 20. а) З";
б) лл = 2; в) 7 + 3". 21. cos M^zJI. 22. (1 + 2/)я + (1 — 2і)п. 23. а) 2п\ б) Аг2я;
в) (1— AZ) 2Л. 24. (—1)я. 25. 2" +З" — 4". 26. 2 cos ~ + 3". 27. 14^—4с +
а — 2а + с . —а + 26 — с , оч„ по • ,
_j--_—і— п _|--!_-(—2)п. 28. Положить в данном соотношении k = 1,
2, З,..., AZ и сложить полученные соотношения. Ответ:
с _ (1+Р)(Ді—вц+і)+д2 —Д/І + 2
Sa" r+7=R '
29. Решение: ял = C1 cos Aza -f- C2 sin /га; из условий ах = cos a, я2 = sin a находим ' an= cos т. Далее, из соотношения ал+2 — 2 cos аал+1ол = 0, полагая /i = 1, 2,
3, я и складывая, получим (см. предыдущую задачу):
COS a -J- COS 2a + ... + COS AZa =
Sin m COS П * a
— О — 2 COS a) [cos a — cos (az + 1) a] + cos 2a — cos (AZ + 2) a S П ~2~ C0S 2 g
~~ 2 — 2 COS a a
sin j
30. C1+ C2AZ+ ... + C^/iA 31. Положим an=bn-\-a; тогда ^+2 — ^n+i + + +a — 5a + 6a = 4. Выберем a так, чтобы a — 5a -j- 6a = 4, a = 2; тогда bn+2—5/Зл+1 + + Sbn = 0 и значит = C1 • 2я + C2 • 3я + 2 (см. задачу № 1). 32. В данном случае уравнение х2— 6л:+ 9 = 0 имеет кратный корень. В этом случае произведем замену ап = Ьп-\- ап; тогда получим: bn+2 + а (п + 2)—6 [^n+1 + a(/z-f-l)]-f-9(bn+an) = —4 или /Зл+2 — Sbn+1 -\-9bn — 4а = —4. Выберем а таким, чтобы —4а = —- 4, т. е. а = 1; тогда bn+2 — 6bn+l + 9bn = 0, bn = (C1 + C2Az) 3", вл = az + (C1 + C2Az) 3", ап = п +
+ (1 — az) 3я. 33. Ищем «частное» решение в виде ап = aAZ + ?; находим a* = ^—. Далее делаем замену: ап = —т)— + V> тогда 6л+2 +/Зл == 0; отсюда ^72 == C1/7* +
^ ^_ 1
+ C2 (— /)я и значит = bu + aw = —2--h Сі*л + C2 (— /)я; отсюда по начальным условиям находим*. C1 = 1, C2 = 1, так что Ctn = п ^ * + /я + (—/)я. 34. Так как общее решение: дл = ^ ^ + Схрп, то последовательность будет сходиться
к — (т- е- к корню уравнения х = рх + q) при любом начальном значении аи
если только J р! < 1 (это верно и для комплексного значения р). 35. При условии, что квадратное уравнение х2 + рх + # = 0 имеет корни, по модулю меньшие 1; предел будет равен 0 (это верно и в случае комплексных значений для р и q).
зб. а)' ^+?(1+^+^rai2+/?);
б) *„ = *(Х + 4(2+7) ); В) а° = П (-6" + V-)5 гЧ /7 - я »I + — «(2 + P) і г ¦y" I Г.y"
