Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
і+4 1+4 (1+^)(1+^)
Числа х2—Xy l+*i, 1+^2 положительные. Остается доказать, что 1—A1A2 > 0. В силу данных нам условий —I^a^a^^I имеем 1+A1^O, 1—а*2!>0. Отсюда (1 + X1) (1 — а*2)>0 или 1—A1A2^a2-A1. Но A2 — A1 > 0, значит, и
Хх ^ *2 о доказано. 2, Как и выше, находим
1 — XxX2 > 0. Итак, неравенство
Х2 _Xy
\+х\ 1 + xj
1 + 4 l+xi (і+(1 + 4) •
Здесь по-прежнему A2 — A1 > 0, 1 + х\ > 0, 1 + х\ > 0. Однако, 1 — Ar1 A2 < 0. В самом деле, так как по условию Ar1 < A2 <—1, то —Xx > 1, —A2 !> 1, откуда
-V3 _
У
0
Черт. 89.
(перемножая) получаем Ar1A2 > 1. Следовательно, 1—A^1A2 < 0. Таким образом,
ОС ОС ОС ОС ОС
теперь 1 <0 или ГТ1~9>Г~Г^- График функции у = ——-
1 + AT2 1 + AJ 1 + х{ 1 + A2 1 + а
изображен на черт. 89. 3. Пусть —/2< Ar1 <Ar2 </2. Надо доказать, что х\— 6A1 > A2— 6а2. Составим разность
х\— 6а2 —(а^— Oa^ = (A2- AT1)(A?+ A1A2+ х\ — б).
В силу неравенства A1 < A2 имеем A2 — A1 > 0. Докажем, что A1 + A1X2 + A2 — б < 0. В самом деле, из соотношений —]/"2 < A1 < A2< / 2 имеем а!+/2>0, xx~Y2 < O1 откуда (перемножая), получим х\ — 2<0, х\<2. Точно так же
522 Ответы, Алгебра. Гл. VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
докажем, что х\2. Теперь из неравенств Xx + Y2>О, Y% — X2^Q, перемножая, получим Ck1 -f- Y 2) (Y 2 — X2) > 0 или 2 — X1X2 > (jc2 — ^i) Y 2» а так как •*2 — *i > 0, то и 2 — Jt1X2 > 0, откуда XxX2 < 2. Складывая неравенства jc2< 2, ^1jc2 < 2, jc2, < 2, получим jc2 + X1 *2 + < 6- Таким образом, х3—-6jc2 — — (jc3— 6Jc1) < 0, откуда х\— 6jc2 < х\— 6xv 4. Составим разность
A = X2+ \— Ix1 + \\ =X2~Xl Ix1X2--1---~\.
X2 \ X1) X1X2 \ X1 X2)
Теперь последовательно имеем: а) в силу неравенств Jc1 < X2 < 0 находим
JC2 — Jc1 > 0,--L > о,--L > 0, Jc1JC2 > 0, так что А > 0, откуда Xx + -L <
Х\ X2 х-
\ 3 —
<х2-\--S-; б) в случае 0 < Jc1 < Jc2 < у 2 имеем опять Jc2-JC^O; кроме того,
4
XxX2 > 0 й остается только исследовать выражение Jc1Jc2------В силу
JC1 JC2
1 1 11
данных неравенств находим — > -^—, — > ——,
Xi У 2 X2 у 2
1 1 V-
откуда — -j--> у 4. (а). Из условий же 0 < Jc1 <
Xx X2
< V\ 0 < х2 < f"2 следует, что JC1Jc2 < Y~4. (?). Из (а) и (?) выводим XxX2--?---L < о, так что
JC1 JC2
теперь Л<0, т.е. Jc1 -j- Дг > Jc2 -f- -Дт-; в) пусть,
наконец, У Hl < JC1 < хм. Тогда Jf1X2 > У"?, — + — < У 4; значит, X1X2 — ---— >0, откуда
x1 x2 x1 x2
А > 0, т. е. Xi + ~ < X2 + --2*. График данной
X1 X2
1 JC
функции изображен на черт. 90. 5. -^- — j—-—- =
Черт. 90.
1 jc2 — 2jc (jc —I)2
1
2(l+jc2) - 2(x* + \)>0t ^^Г+^^І'
причем знак равенства имеет место только при jc = 1. Итак, данная функция принимает наибольшее значение, равное ¦^- при х = 1. Точно так же доказывается, что данная функция принимает наименьшее значение, равное — ~ , при x = — 1 (черт. 89). Можно также сделать тригонометрическую
подстановку jc = tg у; тогда данная функция обратится в у sin 2^ *. 6. Это сразу
следует из результатов задачи 4: а) на полуинтервале (о, /2] данная функция убывает; б) на полуинтервале [У 2, +со) она возрастает. Значит, если рассматривать интервал (0, + со), т. е. все положительные числа, то при X = V 2 функция имеет наименьшее значение. Это наименьшее значение равно у ~ ^ 2 +-L-==
V*
= -g- У 2. 7. Из данного выражения для у следует, что у > 0 и что у2 = 2jc + 2 + + l/*4 + x2 +1. Отсюда следует, что наименьшее значение у2, а следовательно
* Сообщено С. И. Новоселовым.
'OtBetbi. § 2. ВОЗРАСТАНИЕ, УБЫВАНИЕ, ВЫПУКЛОСТЬ ВВЕРХ И ВНИЗ 623
и у, имеет при 0*. 8. Составим разность:
1 -j— x1x2
.4 + С*. + ?)1 2(1 +^)(1+ 4) .
= + Х2) (4 (1 + ХЬ (1 + - I4 + (*, + ^2)2] (1 + *, *2) _
2(l+*0(l+4[4 + (*1+*2)2] ~" "
(x1 -f- x2) (Зх\ + 3•^o + 2xjx2 — 6X1x2 — x'Jx2 — Х2Х\) = 2 (1+^(1+^1)(4 + (^+X2)2] •
Выражение, стоящее в числителе, обращается в нуль при x2 = x1; следовательно,
. (x1 4- x2) (х2 — x1)2 (3 — x1x2)
оно делится на X2-X1; поэтому A = ^ + ^ + ^ [4 + ^ + ^ =
= Р(х, + X2) (3-^2), где ^^?^-™«
положительное (так как x1 =^= х2). Теперь будем исследовать указанные выше случаи: а) х1<х2< — Y 3. Тогда х] + х2<0, 3 — xjx2_< 0; следовательно, А > 0, т, е. функция выпукла вверх; б) —Y 3 < x1 < x2 < Y 3. Тогда x1 + х2 < О, 3 — x1x2 > О, А < О— функция выпукла вниз; в) О <; x1 < x2 < Y 3. Тогда х\ + х2 > Oi 3 — x1x2 > О, Л > О — функция выпукла вверх; г) "|/"3<х1<х2, тогда х1 + х2>0, 3 — x1x2 < О, А<0—функция выпукла вниз (черт. 89). 9. Составим разность
_ 44 [(X1+x2f+8] - (X1 + *2)2 (*?+4++*24)
2X2Xl(X1 + ^)2
^ бх2X2- xj- 2xtxf- 2х^х2- х| _ (¦T2-X1)2 [(X1 + xg)2+ 2xtx2] 2X2X^(X1+ X2)2 2X2Xl(X^x2)2
Если О < X1 < х2. то это выражение отрицательно, А < 0, откуда -j.
+ 7—-U X \2 Y (Xi Хг \ — данная функция выпукла вниз. Если же
/ Х\ ~> X2 \ \ X1 Xo /
