Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
= 2~2'9 — ОД > І— 0,1 > 0, 2~2'8 — (-2,8) - 3 = 2~2>8 — 0,2 = 2- — \ 23 v ' V23'8 10 /'
вычисляя 235•—I5TcT, получим m {т 1Q24 128 - — < -— - < 0; значит, один из корней заключен между —2,9 и —2,8. Далее, исследуем интервал (2,3), имеем: 22 —2 —3 = —1<0, 22'1 — 2,1 — 3 = 22Д — 5,1;- - вычисляя 221 _ 5д iof будем иметь: 221 == 2 097 152; 5,12 =~ 26,01; 5,14 = 676,5201; 5,18 > 676,52 = 455852,25; 5,110 > 455852 • 26 = 11852152; 221 — 5,11° < 0; отсюда видно, что, значит, и 22Д — 5,1 < 0. Далее, 22'2 — 5,1 < 0, ибо 222 = 4194304 < 5,110 и тем более 222 < 5,210. Далее, 22'3 — 5,3 < 0, ибо 223 = 8388608 < 5,110 и тем более
223 <5,310. Далее, 22'4 — 5,4 < 0, ибо 224 = 16777216, в то время как 5,42 = 29,16; 5,44 = 850,3056; 5,48 > 8502 = 722500; 5,410 > 722500 • 25 > 18000000; значит,
224 —5,410 <0, а потому и 22,4 — 5,4 < 0. Наконец, 22'5 — 5,5 > 0, ибо 225 —5,510 > > 33 000000-5,510, и так как 5,52 = 30,25; 5,54 = 915,0625 < 915,1; 5,58 < 837409; 5,510 < 837409 • 30,25 < 840000 .31 = 26040000, то 225—5,510 > 33000000—26040000 > 0, значит, и 22,5 — 5,5 > 0. Итак, второй корень заключен между 2,4 и 2,5.
518 Ответы. Алгебра. Гл. VII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМ. ФУНКЦИЯ
60. Ig (кх) = 2 Ig (X + !), x* + (2 — k)x + l=*Ot х~^ —! ± lfk2-T$. Для
того чтобы хотя бы один корень был действительным, нужно, чтобы или k < 0, или к > 1, Пусть & < 0, тогда X1X2 = I, Xi ф X2 = & — 2 < 0, т. е. оба корня
? і _
отрицательны; но х,, 2 -f-1 = -^- ± -^- У^2 — 4& и при k < 0 только X1 ~f 1 = _ т~ +-^- у k2 — 4k > 0, а так как X1 < 0, kxx > 0, то при k < 0 данное уравнение
A Z
k I г_
имеет только один корень X = -g- — l-f--g-y?2— 4&. Если ? > 4, то оба корня
положительны. Наконец, если k = 4, то данное уравнение имеет только один корень х = 1. Итак, данное уравнение имеет только один корень, если k<0 или
& = 4. 61, Переписать уравнение в виде Ig х = ^^ и построить графики
функций у = Ig .* и у = з^т~тр Данное уравнение имеет два корня. Один из них заключен между 0 и 1, другой — между 1 и 2.
§ 3. Системы логарифмических и показательных уравнений 1. (с^\ сЩ. 2. (1,1), (-1.1), (~,ІГ$у з. (1, 1), (_|1,
4- И -гіг)- (і4т'іа]3)-5- (1, ;'2)> [(/!-Ш^Ч)2- й-
6. (1Og2IOO, 1), (log10J100, 101). 7. G7. 2~^) 8. (1, 1, 2), ^(^^-1^,
B(Z?-1)'- т]- {І- г) - (т- т)- ,0- Ц+7ИШ- """Ч
(Iog810000,1). 11. [(log, 15)'0^13(log, 15)'0?3]. 12. (-yf • у^), (3, 4). 13. Если
ІІ1>0, то х = да^-^7, y = fIe?.YeA7; если -!^-< 0, то система не имеет решений. 14. (1, 1); если -— > 0, то система имеет еще решение
P-Q
15. (2, 6). Ї6. (2, 32), (32, 2), (—2, —32), (—32, —2).
17. (I, f)- 18. (12, 10), (—10,-12). 19. Если baq ф\ и abp ф \, то
Г -J-1
система имеет решение i(baq)pq !, (abp)pq 1J; если или 6а*7 = 1, или abp = l, то
система не имеет решений. 20. (аг{2т~3п\ а6{т~2% 21. Если т2 ф я2, то
х = ат'~п1 у = ап 1)1 . Если т2 п2, то система не имеет решений.
22, \l0^6-,go', Ю1-0"1^/. 23. (4, 2), (1, 1), (1, —1), (9, —3). Замечание. Одна из систем хф у = —б, ху2 = 1, которая здесь получается, не имеет, очевидно, решений (х, у) с положительными значениями для X и у. Эта система имеет.одно решение (х, у) с действительными значениями для X и у, которое находится
так: (— у — 6) у1 = 1, у3 + 6у2 ф 1 =*= 0, у =» JL e zs ~f б* f 1 «= 0, * = у -f
z* = и9 ф v9+3uv(a ф v), w3 + v3 + 3«v(ti-f v)-f 6(« + v) + l =0, Положим uv = —2,
тогда и8 + !/8 = -!, u3i/3~~-8, Х* + Х —8^=0, W3^1ll+J^E| v»^*-/55 ,
,_(,Г2^Г_іГ2^ї)\ ,.(1ГГ^Г_]ГЩП)-'.,
так как значение для у иррационально и отрицательно, то эта пара значений для X и у не образует решения данной системы. 24. (—4, 10), (—3, 9), (S, 1), (7, 1).
Ответы. § 4. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
519
25. (7, 5). 26.,(10, 4), (4, 10), 27. (2, 2, 1). 28. (8, 2), (I, 64^, (-8, -2), 64). 29. (I , 2), (100, -1). ЗО. (У~2, ]/їб). 31. (lO, , ()Ло, 10
зд- (шбб' I)' (1000'""?- 33' (1, 1} и (?' т)- 34- (34' 30) и (2а 16)-
35. (1, 1), (2, 4), (—2, 4). 35. (1, 1). 37. (128, 2) и (2, 128). 33. (3, 2). Указание.
Yx^ + x'+J+^ - Y^T^TW11^ - Vx2 + 2у + 3 - /л2 +5л; + 2у —3. (1)
Возвести в квадрат. После упрощений получится уравнение Ax2 — Злгу— у2— 9л: + -f 4у -4- 5 = 0, или (х — у — 1) (4х фу — 5) = 0. Уравнение х — у — 1 = 0 дает решение (3, 2). Для решения системы хх"У = 2у — 1, у = 5 — 4* заметим, что она эквивалентна следующей: л:5Л~5 = 9— 8лг, у = 5 — 4л:. Далее, необходимое условие выполнения равенства (1) таково:
*2 + * + У + 2 > X2 ф Зу + 4л: — 2, л:2 + 2у + 3 > л:2 + 5л: + 2у — 3
или
X2A *А У + 2<л-2 + Зу+4л: —2, х2ф 2у + 3<л:2 + 5л: + 2у —3.
Упрощая первую систему неравенств, получим: Зл: + 2у<4, х < — (или соответ-
о
ственно Зл- + 2у>4, *>і^)- Для уравнения х5Х~5 = 9 — 8х мы должны найти
положительные решения; значит, х < ~. Следовательно, предположения Зл:+2у>4
6 6
*>-g- отпадают и остается Здг + 4у<4, *<-g-. Однако система хъх~ь = 9 — 8л:,
