Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
X (х_1) X2 + Зх_14
.——L очков, играя друг с другом. Итого: -—,^- и это по условию
k к k
равно ~2 • X, где 2—число очков, полученных каждым восьмиклассником. Имеем! 14
k = X + 3--. Так как* k и х — целые положительные числа, то х = 7 или х = 14.
1 X
63. Скорость А 2а м/мин, скорость В За м/мин. Если часы у В идут верно, то часы у А отстают на 10 мин. в час, а если часы у А идут верно, то часы у В идут вперед на 12 мин. в час.
§ 16. Составление неравенств
П. 1. Составление неравенств второй степени с одним неизвестным
1. 3<i/<5. 2. 10< ^<40. 3. 0<^<20 км/час. 4. Пусть х — собственная скорость лодки, тогда
а , b . . tx2 — (а + b) X + v (а — b) — tv2 . л
і.. или --—~—-—+—-——^-;> о,
x + v ] X-V (х + V) (х — V)
или (так как x + v > 0, х —v > 0)
/ (х) ^tx2 — (a + b)x + v(a — b) — tv2 > 0.
33*
516 Ответы, Алгебра. Гл. VII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМ. ФУНКЦИЯ
Корни этого трехчлена действительны и различны, так как дискриминант положителен: А = (а + Ь)2 — At [V (а — b) — tv2] = (а + b — 2vt)2 + 8bvt > 0. Число v заключено между корнями f(x)\ X1 < V < х2, так как f(v) ==¦ — 2bv < 0 [f(x) = = t(x— X1)(X- X2)]. Из условия задачи следует, что х > v; неравенство же /(а)>0 выполняется при X^x1 или X^x2. Условие X^x1 не может иметь места, ибо тогда х < v, значит х должно быть больше или равно наибольшему из корней f(x), т. е.
а + b + Y(а + b)2 — At [у (а — Ь)~^1уЦ
или V
а + b + /(а + b — 2vt)2 + Sbvt
х>
2t
1 7
5. Между или Jg-. 6. Длина забора вдоль реки 50 м> расстояние забора до
реки 25 м. 7. 36 сл/, 1,84 сек. 8. 1,5 < v < 42 м/сек. 9. Первый пришел раньше второго.
П. 2. Составление нелинейных неравенств
3 4 5
1. j, или jg-, или 2.
Ig
r(100 —?)
^ (100 — г) л -
3. п>-^7-T-—. 4. Если а—-число процентов примесей газа перед поступ-
8 100 — /?
., , . (a + b)r — bq лением в первый фильтр, то л:<——--—-~-~-— при этом
(a ~\-b)r > bq. 5. я >-Р . 6. Количество бактерий в колбе будет превы-
1 А -\- cl
2Л/> — 100/2
Ig
шать их начальное количество в 2 раза через число часов т '. Условие возможности решения: Np — 10On > 0.
Np — 100/2 Ig (l+-^
шоу
Глава VII. Показательная и логарифмическая функция над полем действительных чисел
§ 1. Доказательство различных равенств, содержащих показательную и логарифмическую функции
2. Ig 2 = 0,3010275, Ig 5 = 0,6989725. 3. ^g^^-^, у= !J.
V F^l
9. U . 10. 3(1 —а —6). 11. -У^-. 13. м) функция, обратная для а (о — do) Zo
у ~ ~ ¦ ~ а— (—со < X < -f со), будет у = loga (х + /л:2 -f- 1); функция, обратная
на полуинтервале [0, + со) для у = а — , будет у = Iogo(х -f->Л*:2 — 1), если а > 1, и у = \oga(x — Yx2— 1), если 0 < а < 1; обе эти функции определены на
Ответы. § 2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 517
полуинтервале [1, + эо); функцией, обратной на полуинтервале (—со, 0] для функции у = а+2а , будет у = loge С* —V*2 —1), если а > 1 и у = logfl U + Yx2 — 1), если 0< л < 1. Обе функции определены на полуинтервале [1, +со). Функцией обратной для у = аах~^_аа-х > бУДет У' = у 1о&* Т~Г^ ' ^та ФУНКЦИЯ определена в интервале (— 1, 1).
§ 2. Логарифмические и показательные уравнения с одним неизвестным 1. а. 2.Ь.±. 3. 1;4. 4. 1, 100. 5. ig, 100. 6. 3±2^13. 7. 1. 8. Если а < 10*.
то уравнение не имеет корней. Если а > 10ь, то х = Ig10 а ± V lgio0" — ^2. 9. 1, ас.
10. Если 0 < л < 10 000 и пф 1000, то два корня 2 ± /4 — Ig10 л; если п = 10 000. то л — 2; если я = 1000, то jc = 3; если п > 10 000, то корней нет, 11, Если а > 1,
TOJc1 = O"3; jc2 = aa~2. Если 0 < а < 1, то уравнение не имеет корней. 12. 2. 5 _ і
13. 5, у 5> 14> 9 • 15- 10> 100 16* Еслп или ^<0' или tf<°> решений нет. Если р > 0, # > 0, то уравнение имеет два корня: Р^ q ± Ypq. 17. і.
18. 2V2, 2"^2. 19. 2; 3. 20. Корней нет. 21. І, /5. 22. 1, а, дТ1'3. 23. 3. 24. 2, —2. 25. 100, І. 26. /26. 27. 7; —1. 28. — ~. 29. 1; 2. 30. 10, 1
10* " г ' ' 10* ' ' ' 10
31. •g-. 32. 4; 2. 33. 2; 4. 34. Если |д|<>/"2, то уравнение имеет корень jc = 1 — а2. Если |а|>У"2, то уравнение не имеет корней\ 35. 1, а. 38. 2.
37 І і 61- 3' 15
38. 4-У 2.39. 5, JL. 40. ^ 10. 41. i(log82± j/"log22-4log3^) . 42. 37. 43. 2, —1 —log5 2. 44. _^|=i||L. 45. Если m<2, то уравнение
не имеет корней. Если т > 2, то уравнение имеет два корня:
, т ± Ym2 — 4 Ig -
2
іет. 48. 0
-\\±VA\ -5±і/їз -VI-i± Y2V2
46 ^19-1?3_ _lg3-^19_ 47 Корней нет 48 0 49 4
4b- lg 19 +lg3 —lg37' lg 19+ lg3-lg37" к°Рнеи нет- u- 4y- 4-
50. 8; 4. 52. а 10 . 53. 10 6 . 54. 2; 2 2 . 55. -|. 56. 4.
Ig7__ Ja 57
57. 8. 58. 2 + 7 _ і^ 2 * 59, ^ K a 3 a н и e* Построив графики функций у = 2х
и у = лс + 3, видим, что они пересекаются в точках с абсциссами, заключенными
в интервалах (—3, —2) и (2, 3). При этом 2~3 —(—3) — 3 > 0, 2~2'9 —(—2,9) — 3 =
