Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
партий и набрали столько же очков. Девятиклассники с десятиклассниками сыграли п. Юп = \0п2 партий. Пусть из этих партий девятиклассники набрали ~ очков
k
(k — целое), тогда десятиклассники \0п2—очков. По условию
2 1 2 9
п (п—1) k 2
или k = 21/22 — п. Так как 10я2 — -^=-^—> 0, то возможно лишь я = 1, тогда
k
k = 20, a Tj-= 10 — число очков, набранное девятиклассниками.
П. 2. Составление нелинейных уравнений с .одним неизвестным
35
V 2 k
1. 6 км!час. 2. А — 375 руб., В — 450 руб. 3S 50?6. 4. 3Г---. 5.-----100.
І/2-1 Vl-I
=---------—--; Ъ > A >d или о < А < d.
Ig 2
¦«(' + Tfir)' •
Y ЪА-V с
8. а 9. 15. 10. Решение. Пусть л: — число страниц и пусть дг есть
Yc-Yb
&-значное число. Представим его в виде х = 9 + 90 + 900 + ... + 9 • 10п~2 + + (х — 10^-1 + 1). Для нумерации понадобится число цифр, равное 9 + 2-90 -f + 3.900 + ... Jr(k — \)9-lOk-2 + k(x—lOk-i + \) = nx; отсюда (? + 1 — п)х == = ^ (10^-1 — 1) ^— [9 + 2-90 + 3 . 900+ ... +(/г— 1)-9-10*-2] или (k — п) х =
— J^lzzl--? = 111...1 — k. Так как справа стоит ?-значное число, начинаю-
У v--V--"
k раз
щееся с 1, a k +1 — л — целое число, X является A-значным числом, то для п возможно лишь одно значение, при котором k — п будет равно 1; это значение п = k — 1. Тогда число страниц х = 111 ... 1 — (п + 1). Например, если п = 2, 3, 4, 5, 6, ...,
п + 1 раз
то число страниц х = 111 — 3 = 108, * = 1111—4 = 1107, * = 11106, * = 111105, X = 1111104, ... Для нумерации же страниц в количестве 108, 1107, 11106, 111105, 1111104,... понадобится число цифр, соответственно равное: 2-108 = 216, 3-1107 = 3321, 4-11106 = 44424, 5-111105 = 555525, 6 • 1111104 = 6666624, ...
П. 3. Составление систем нелинейных уравнений
2с 2с
1. 18 км, 6 км/час, 4 км/нас. 2. 8 км. 3. 600 руб. по 4%. 4. TfZT 0~ > а + Ь'
т — 2 + Ym2 + 4 т + 2 — Ym2 + 4 г--
5. V1 =---1—5, V2 =-----s. 6. t + у t2 — 2/т и
/ т//2 _ 7. В, 17 час. 8. 4 м. 9. 4 км/час. и 20 км/час. 10. 8 л/сгл:, 10 л/шс 190 170
или л/с^л:, -"2^ л/сг*:. И. В 12 час. 12. 5 час. и 7 час. 30 мин. 13. 80 Mjмин
и 220 лфшя. 14. 136 раз. 15. 23 и 32. 16. 100 руб. и 64 руб. или 102 руб. 50 коп. и 61 руб. 50 коп. 17. 24 или 42. 18. 50 км/час, 30 км/час. 19.#15. 20. 40 рабочих, 15 ящиков в час. 21. 72. 22.-Или обоим по 12 час, или первому 10 час, второму 15 час. 23. 63. 24. 4 км/час и 6 км/час. 25. 54. 26. 30 дней, 60 дней. 27. 21 км. 28. 6 сыновей, 5 дочерей. 29. 28. 30. 9 и 4. 31. 6 час, 3 час 32. Наполняет за 5 мин., опорожняет за 4 мин. 33. 60 км/час, 84 км/час. 34. 6 час. и 9 час. 35. 3762. 36. 3 час. 51 мин. 37. 421. 38. —3, —6, —12, —24. 39. AB = 840 км, V1 = 80 км/час, V2 = 70 км/час. 40. 972 и 314. Первый ученик уменьшил на единицу число сотен, второй уменьшил на две единицы число тысяч, третий уменьшил на единицу число десятков тысяч. 41. А — 240 ведер в час, В — 200 ведер в час; втекает 120 ведер в час; в начальный момент было 1200 ведер. 42. 452. 43. AB= 10 км% ВС = 24 км, AC = 26 км. Скорость пешехода 3 км\час. Скорость велосипедиста 9 км/час.
Ответы. § 15. СОСТАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 515
44. 20 ООО руб. на 1 год и 30 ООО руб. на 8 месяцев. 45. 7 кмічас, 9 ^ кмічас,
CD = 56 км. 46. 15 ведер в мин. и 10 ведер в мин. 47. 30 км, 36 км. 48. 60 кмічас. 49. р = 5%, а = 4% (точные значения); второе решение: р = 3,888% (с недостатком),
360 360
q = 4,888% (с избытком). 50. 24 и 90. Указание. -^— = k и —у- = 5 взаимно
360 360 RR К1 тс/? /,A1 , 4Г , Л просты. Далее —---= 66 и т. д. 51. V1 =-^уу --г1),
2 \
В выражении для V2 радикал следует взять отрицательным, так как V2--2t > ^
53 т ^ I + ^l 54 2ac + a-b + V(a-b)2 + 4abc2 Vq-Yp' ' 2(с +1)
2Ьс -\-b-a+ У (а — Tf+ Aabc2 с [— а — b + У (а — б)2 + 4а/;с2]
2(с + 1) > 2(с + 1)
qs~2mt + yr^s2~+Jm42 qs + 2т/ — Y Q2S2 + Шч2
55. V1 =-----iT----, V2 = -
2qt 9 1 • 2qt
P-Cf
т — п *" ' qm — рп
56. ЯП-El руб., -J?-1200% в год. 57. AB = 3p — q, V1 = 2 2?l
b
+ }/ -j-+*2 час. и + х + ^2 час. 60. -^—^ + а + гг. 61. 167
0„, 0700П ,, 1000.*:+ у 0 Л'у ^ и 334; пятизначное число 27889. Указание. -z = "г " ^тсюда слеДУет>
что у делится на лс, а так как у и д: — трехзначные числа, то частное может быть
целым числом от 1 до 9; из WOOx + у = З.гу следует, что 100Ox+ у делится на 3.
Значит, возможно лишь у = 2х, у = Ъх, у = Sx. Возможно лишь у = 2х. Отсюда
X= 167, у = 334. Остается еще заметить, что 167 — простое число, так что z может
быть или 1672 = 27809, или 2- 1672 — это число не подходит. 62. Два семиклассника,
играя между собой, получили одно очко, а значит, еще 7 очков они получили
с восьмиклассников. С восьмиклассниками они сыграли 2х партий, где х-—число
восьмиклассников. От этих партий восьмиклассники получили 2х — 7 очков, да еще
