Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Если взять, например, jc = 1, то УI + Y 1 — У \ — / 1 = V 2 будет больше, чем
+т
3
= —yz=r; значит,
+ Y 1 2
Vx + Yx-Vx-Yx>3n/r—*
2 у X+ YX
25 / 25 \
при всех X таких, что l<jc<-yg-. Если взять, например, х = 9 (9>-yg-j, 10
Vqл. Y9— V$ — у'9 = у 12 — / 6 будет меньше, чем -3- і / -
2 у 9 + Y 9
= ту У -j2" = —4—; значит, К л- + у х — \ х —} х < — л / ПРИ всех
д:>-у^-. Итак, все решения заданного неравенства 1<л'<-у^-. Второй способ. Область определения функции ——- есть
2 у х + У х
X > 1. Далее, считаем, чтолг>1. Система неравенств Vx + Yх — Vx—у"х >
1 і /—* , х> if или Vx~+Yx'-V7=Y^>-\/ v* , *>1
2 К jc-f /jc 2 V 1+Ух эквивалентна следующей: V Yx +1 — V Yx — 1 > — ^ —, л: > 1, или
2 Vi+/jc
/jc + 1 — Yx — 1 > -j- , jc> 1, или/jc — Yx-1 > Y , л:>1, или /jc > /jc—1 + -^-,
_ I __^ 25
jc > 1, или X > X — 1 -f- Yx — 1 + , X > 1, или /л — 1 < -у , х > 1, или jc < ~ ,
jc > 1, или 1 < jc < ~ . 6. (5, -f оо). 7. (— со, 0). 8. (— оо, — ^j, (3, + а-).
9. (3, 11). 10. (0, 5). IK (9, 10), (34, 35). 12. (—2, — Уп\ [і/ 12, 2).
13. ^1, ~^~~)» ( * ~^~2 ° > + °0)- Область определения функции, стоящей в левой части неравенства, есть сегмент [—2, 2];
у-2}7+4-2у-^-2^-4-4(2^ >0,
/ 9jc2 + 16
WSF+i- 2 /2=? (1 - 2ЇША±1ЇЇЕ±\ > о,
\ /9jc2 4-16 /
(/27+4 - 2 /2=7) (/2Ff4 + 2 /2=3? ^ /9jc2 +16-2 fyr237+4 + 2 /2=3? ^
/2л: + 4 + 2 /2=3с" ' /9^2 _|_ I6 > '
(6х - 4) [/9*2+16 - 2 (/237+4 + 2 /2=33)] > 0, (1)
3
>
так как > 2л: 4-4+ 2 У 2-х > 0, у 9л:2 + 16 > 0. Последнее неравенство (1) эквивалентно следующему: (6л: — 4) [/9л2 +16 — 2 (/z7+4 + 2/2=?] [/9л:2 + 16 + H- 2(ул2лг + 4 + 2/і-—л')1 > 0, так как последний множитель положителен при всех X таких, что — 2<.v<2. Итак,
(Зл: - 2) [9*2 + 16 - 4 (12 - 2jc) + 4 /8=2332] > 0,
Ответы. § 15. СОСТАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 513
(За- — 2) (9а2 + 8а — 32 — 16 /8 — 2а2) > О, (За —2)(а: —2 /8 —2а2)(2/8 —2а2+ 8+ а) > О,
или (За: — 2) (х — 2 /8 — 2а2) > 0, так как 2 /8 —2а2+8+а > О, если — 2 < а < 2.
При а<0 это неравенство выполняется. Будем считать, что х^О. Если а>0, то
второй множитель а — 2/8 — 2а2 будет положителен тогда и только тогда, когда
__ 4/2
x > 2 у 8 — 2а2, а2 > 4 (8 —• 2а:2), х > •—~—. Первый же множитель будет поло-
2 2 Г 2\
жителей, если x > у, и отрицателен, если x < у. Отсюда ответ: —2, -yj,
(±?1, 2]. 15. (і, -J), (|, + со). 16. [-1, 1]. 17. [О, (2J)']. 18. (1, + со).
(-„.-¦).,..(1.,). „. [-•,iir^n),,,,,,;
19,
§ 15. Составление нелинейных уравнений
П. 1. Составление квадратных уравнений с одним неизвестным
2 7
1. 31 и 41. 2. 10 л. 3. 36. 4. 8 л., затем 7 л. 5. у или . 6. 5. 7. 105 м. 8. 9.
7
9. 10 час, 15 час. 10. 12 кг, 15 кг. 11. 8 км/час, 10 км/час. 12. 53 и 147. 13.
14. Поезд прибывает на станцию В в 9 час, на станцию С—в 10 час. 3 мин, на станцию D — в 11 час. 6 мин., на станцию E—в 12 час. 9 мин. 15. 4,5%. 16. 12 час;
15 час; 17. 20 м. 18. 15. 19. 10 час 20. 3 км/час. 21. ~ (Ус2Ь2 + Aabc — cb).
22. т — Y + }/~ni2 + -^- час. и /и + -~ + j/~m2 + ~- час. 23. К концу 15 октября.
— cb + / с262 + 2д6с сб + / с2Ь2 + 2л6с --/гсгс + /ш2;г2+ 4атгс
i4' 2с и _2с_ * A 2я
тя+/»1»/1» + 41»1»/I 2^ 2«^ 27# д_у3- 28# т+Ут* + *тп
2п Vm 2
— т + у Ш2 + 8/яя / с262 + 4д6с — be Qn — л + /а2+ 2as fl + /a2-{-2flS 2 ' 29e 2 • **u* 2 ' 2 *
^ , -i/To-г *. . іАГ5-r on З*2 + 2mc + УAm2C2 — Aamc + 9a2
31. 6 + у 62 — ab, b — а + У b2 — я 6 . 32.-¦-——-1-.Указание. Для того чтобы, легко выбрать нужный корень квадратного уравнения, следует принять за неизвестное разность между скоростью катера и скоростью реки.
_bk4- Уb2k2 + AQQbsk
33. По железной дороге за 5 руб. можно перевезти --——^ -тонн,
bk + ybW+ШШ ол vfx. ,г-гт-ъ—л
а водным путем -——^r-1- тонны. 34. — {у + gt — У v2 + 2vgt).
Zo g
35. -^-(с + б— У (с — b)2 + Ahe). 36. Решение. Будем искать решение рекуррентного
х-А-х zn~2 -А- zn~* соотношения xn = . п~2 ~г п-\ в виде Хп гп9 Имеем zn =-~- или
2z2 — z —1 = 0, откуда z = 1 и z = — -і. Имеем два решения: xn = \ и
(_\\п (—1)л
xn = 2п ' • Решением будет и их линейная комбинация xn = C1 + C2 2я ' гдє
Cj и C2 — произвольные числа. Выберем их так, чтобы удовлетворялись «началь-
^ C2 ^ , C2 , ^ а +26
ные» условия xx = C1--+ = a, л:2 = C1 -|—т- = 6; отсюда C1 = —к— ,
2 4 о
^ 4 /г ч a + 2b , 4(6 — a) , 1ч„
C2 = у (6 — a), и окончательно хп = —^--1--^ 7 (— 1)". 37. /г — число
девятиклассников. Между собой они сыграли П ^П ^—— партий и набрали, следо-
* о IQn(IOn-I)
вательно, столько же очков. Десятиклассники между собой сыграли -—^-
33 П. С. Моденов
514 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
