Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 2

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 381 >> Следующая


В сборник включены задачи, связанные с такими понятиями, как гармоническая четверка точек, радикальная ось, пучок окружностей. Часть задач связана с понятием эллипса, гиперболы и параболы. Указанные понятия не имеют в задачах самостоятельного значения, а даются попутно с рассмотрением конструкций элементарной геометрии. С весьма общим методом решения задач — применением геометрических преобразований (движение, сжатие, сдвиг, перспектива, инверсия и т. д.) — читатель познакомится в § 9 гл XIX. Метод геометрических преобразований находит широкое применение и в задачах гл. XX (задачи, в решении которых применяются комбинированные методы).

* Геометрические задачи с применением тригонометрии (§ 3, №Y° 99—125). Одной звездочкой помечены задачи повышенной трудности, двумя — наиболее сложные.

ПРЕДИСЛОВИЕ

5

При составлении сборника широко использованы журналы и учебная литература, издаваемые в нашей стране примерно с 1850 г., а также несколько сотен иностранных журналов по вопросам элементарной математики. В значительной мере использован журнал «Математика в школе» за весь период его существования. Часть интересных задач по алгебре, планиметрии и стереометрии заимствована из сборников задач Пржевальского (Сборник задач по алгебре), Попру-женко (Планиметрия) и Дзык (Стереометрия). Использованы и задачи по элементарной математике, которые предлагались в ряде стран (Франция, Англия, Германия, Италия, Польша, США, Португалия, Испания, Швеция, Китай и др.). В первую очередь я должен упомянуть здесь «Journal de mathematique elemen-taire» и журнал «L'Education mathematique», а также «Mathematical Problem Papers» by Т. В. W. Spencer; Alberto Foa «Lezioni di algebra con numerosissimi ezercizi.»

При окончательной обработке рукописи много ценных советов дал мне ее редактор С. И. Новоселов. Рукопись была прочитана членами кафедры высшей алгебры и элементарной математики Московского областного педагогического института — зав. кафедрой проф. И. К. Андроновым; членами кафедры: доц. Е. П. Шимбиревой, доц. Р. С. Черкасовым, доц. А. К. Окуневым, ст. преп. Н. И. Сырневым, которые дали мне очень много ценных советов. Выражаю большую благодарность зав. кафедрой проф. И. К. Андронову и всем членам кафедры за оказанную помощь. Много ценных советов я получил также от чл.-корр. АПН РСФСР П. А. Ларичева. Чертежи выполнены Н. А. Атабеко-вым; им проделана очень большая работа: в ряде случаев Н. А. Атабеков предварительно изготовлял пространственные модели, а большинство стереометрических построений выполнены им в кабинетной проекции.

Первое издание сборника обсуждалось на школьной секции Московского математического общества; здесь были высказаны и некоторые деловые замечания, которые я учел при подготовке следующего издания.

Во втором издании книги мною были также учтены многие замечания и пожелания читателей, которым я весьма признателен. Прежде всего я дал краткие сведения о линиях второго порядка, необходимые для понимания формулировок некоторых задач и их решений, добавил одну главу (XXVI) — планиметрия со стереометрией — и ряд задач, интересных по методам их решения. Кроме того, были проверены все решения задач и исправлены неверные ответы. Большую работу в этом отношении проделал Д. Л. Векслер, который перерешал задачи сборника, дал ценные з-амечания и указал на необходимые исправления. Я приношу ему большую благодарность.

Создание высококачественного систематического сборника задач по элементарной математике для будущего учителя, а также для преподавателей математики средней школы — дело очень сложное, и я понимаю, что нужно еще много потрудиться над улучшением этой работы. Все критические замечания и пожелания прошу направлять по адресу: Москва, Подсосенский пер., д. 20, издательство «Высшая школа»; все эти замечания я приму с благодарностью.

Автор

Москва, 1960 г.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

АЛГЕБРА

Глава I

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 1. Тождественные преобразования многочленов

Доказать следующие тождества:

1. a(ft + c)2 + ft(c+a)2 + c(a + ft)2~4aftc = (ft + c)(c + a)(a + ft).

2. (а + ft + с) (be + са + aft) — aftc = (ft + с) (с + a) (а + Ь).

3. (а:2 - 1) (у2_ 1) (г2 - 1) + (х + уг) (у + гх) (z + =

= (xyz + 1)(х2 + у2 -+-z2 -+-2xyz — I).

4. 4 [(ac' — са')2 — {ab' — bar) (bc/ — eft')] =

= [2 (ас7 + са') — ftft']2 — (ft2 — 4ас) (ft'2 — 4а'с').

5. (a + 6 + с) (a*2 + AJ/2 + сг2) — (ах + *у + cz)2 =

= ftc (j/ — ^)2 + са (z — х)2 + aft (х — у)2.

6. (be + са + aft)2 + (а2 — ftc)2 + (#2 — acf + (с2 — aft)2 = (а2 + ft2 + с2)2.

7. (а2 + ft2) (je2 + у2) — (ах + ftj>)2 = (ay — ftx)2.

8. (a2 + b2 + с2) (x2 + у2 + г2) — (ах + ft;/ + czf =

= (bz — су)2 + (сх — az)2 + (ay — ftx)2.

9. (ax + ?y + сг + dt)2 + (ftx — ay + cte — c/)2 + (cx — dy — az-\-Mf +

+ (dx -\-cy — bz — at)2 = (a2 + b2 + c2 + a*2) (x2 + y2 + 22 + /2). 10. (x + yf + Zxy(\ — x — y) — 1 =(x + y— l)(x2+v2 —xj/ + x+j+1).

11. 2 (2a; — a)3 — 27a2x = (x — 2a) (4x + a)2.

12. (x — jO (x + yf = X (X — 2yf + у (2x — yf.
Предыдущая << 1 < 2 > 3 4 5 6 7 8 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed