Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
31. Вокруг шара радиуса R описана правильная шестиугольная пирамида, боковая грань которой составляет с плоскостью основания угол а. Определить боковую поверхность и объем пирамиды.
32. Три шара имеют радиусы, каждый из которых равен 6а, а четвертый шар — радиус а. Найти радиус пятого шара, если известно, что каждый из пяти шаров (внешним образом) касается четырех остальных.
33. Вокруг шара описана правильная я-угольная пирамида, у которой двугранный угол при основании равен а. Найти отношение объема шара к объему пирамиды.
34. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида. Вычислить объем пирамиды, если ее ребро наклонено к плоскости основания под углом а.
35. Определить двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды, если радиус описанного шара в 21I2 раза более радиуса вписанного шара.
36. Правильный многоугольник, имеющий четное число сторон, вращается вокруг прямой, параллельной его стороне и не пересекающей многоугольник. Вычислить предельным переходом поверхность и объем тела вращения, полученного вращением окружности вокруг прямой, не пересекающей окружность.
37. Внутри конуса лежит шарик, касающийся основания в его центре. Через вершину конуса проведена плоскость, касательная к шарику. Эта плоскость наклонена к плоскости основания конуса под углом ? и отсекает на окружности основания дугу а (в угловой мере). Определить поверхность шарика и объем конуса, если высота конуса равна Н.
38. Площадь поверхности шара, вписанного в конус, равна площади основания конуса. Определить угол при вершине осевого сечения конуса. Решить задачу, предполагая, что отношение поверхности шара к площади основания конуса равно т.
39. Определить угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса, если шаровая поверхность с центром в его вершине, касающаяся основания, делит объем конуса в отношении 1 : 2 (считая от вершины).
40. Отношение поверхности шарового сегмента к боковой поверхности конуса, имеющего вершину на поверхности шара, а основание общее с основанием сегмента, равно т. Определить угол между образующей конуса и осью. Разобрать два случая:
а) конус расположен вне сегмента;
б) конус вписан в сегмент.
41. Центры шарое. описанного вокруг правильной четырехугольной* пирамиды и вписанного в нее, совпадают. Определить плоский угол при вершине этой пирамиды.
42. Площадь поверхности шарового пояса, основания которого равны между собой, равна сумме площадей оснований. Определить величину дуги в осевом сечении шарового пояса.
412
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
43. Определить центральный угол осевого сечения сферического сектора 1-го рода (т. е. не имеющего полости), если объемы его сферической и конической части равны между собой.
44. Из точки шара радиуса R проведены три равные хорды под углом а друг к другу. Определить длину этих хорд.
45. На поверхности полусферы радиуса г расположены три окружности, радиусы которых равны а, причем каждая окружность внешним образом касается двух других. Найти радиус окружности, также расположенной на данной полусфере и касающейся трех данных окружностей внутренним образом.
48. Определить поверхность тела, получаемого при вращении правильного пятиугольника со стороной а вокруг одной из его сторон.
47. Дуга, стягиваемая хордой длины а, вращается вокруг диаметра, проведенного из ее конца и образующего с хордой угол ср. Определить площадь полученной поверхности.
48. Ромб с большей диагональю d и острым углом у вращается вокруг оси, прохолящей через вершину ромба и перпендикулярной большей диагонали его. Определить объем тела вращения.
49. Определить отношение объемов двух тел, образованных вращением равнобедренного треугольника вокруг основания и одной из боковых сторон, зная, что угол при вершине этого треугольника равен 2а.
50. Сегмент круга вращается вокруг диаметра, проходящего вне сегмента и составляющего с хордой его, равной а, угол а. Определить объем полученного тела вращения.
51. Через точку А окружности проведены хорда AC и диаметр AB. Отношение объема, образованного вращением фигуры ACmB вокруг диаметра AB1 к объему, полученному при вращении сегмента AnC вокруг той же оси, равно k. Определить угол между AC и AB.
52. Рассмотрим семейство сфер, касательных к данной плоскости P в данной точке А. Дана прямая OX1 перпендикулярная плоскости Р. Доказать, что точки касания рассматриваемых сфер с касательными плоскостями к ним, проходящими через ОХ, расположены на конусе вращения, сфере и цилиндре вращения. Найти эти поверхности.
53. ABC — прямоугольный треугольник со сторонами а, Ь, с; BC = а — гипотенуза. Вращая этот треугольник вокруг CA = Ь, получим конус.
1°. Определить центр / и радиус г сферы, вписанной в этот конус.
2°. Окружность, по которой касается сфера (/) с конусом, делит (/) на два сферических сегмента. Найти отношение их поверхностей в функции а и с, затем в функции tg-^-.
3°. Проводится плоскость (P) через прямую СВ. Конус пересекается по треугольнику BCB'; BB' — сторона этого треугольника, лежащая в основании конуса; положим BB' = 2х (0 ^ х ^ с); рассмотрим также угол 2и при вершине С треугольника BCB' (угол и с х связан простым соотношением). Сфера (/) пересекается этой плоскостью по окружности (/') радиуса г'.
