Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
4. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида, ребро которой наклонено к плоскости основания под углом а. Определить объем пирамиды.
б. Полная поверхность конуса в два раза больше поверхности вписанного в него шара. Определить отношение объема конуса к объему шара.
6. Плоскость, проведенная через центр шара, вписанного в конус, параллельно плоскости основания конуса, делит объем конуса пополам. Найти угол в осевом сечении конуса.
7. Вокруг шара радиуса R описан прямой круговой конус, в котором угол между образующей и плоскостью основания равен а. Определить боковую поверхность этого конуса.
8. В конус с образующей /, наклоненной к плоскости основания под углом а, вписан шар, а в него — куб. Определить поверхность куба.
9. В конус, образующие которого наклонены к плоскости основания под углом а, вписан шар. Определить отношение объема шара к объему конуса.
410 Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
10. В конус вписан полушар так, что плоская сторона лежит на основании конуса, а выпуклая сторона касается всех образующих. По длине образующей Z и углу а между образующей и основанием найти объем полушара.
Ib Угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса равен а, a радиус основания конуса равен R. Найти радиус такой сферы с центром в вершине конуса, которая делила бы объем конуса пополам.
12. Определить двугранный угол при основании правильной пирамиды, если центр вписанного шара делит ее высоту в среднем и крайнем отношении.
13. Определить двугранный угол при основании правильной четырехугольной пирамиды, если радиус шара, описанного вокруг нее, в п раз больше радиуса вписанного шара.
14. Вокруг сферы описана правильная 2я-угольная пирамида, у которой угол между плоскостью основания и боковой гранью равен а. Найти отношение полной поверхности пирамиды к поверхности сферы.
15. Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом а. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ср. Найти объем пирамиды.
16. Радиус шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, равен г. Двугранный угол, образованный двумя соседними боковыми гранями этой пирамиды, равен а. Определить объем пирамиды, имеющей вершину в центре шара, а вершины основания — в четырех точках касания шара с боковыми гранями данной пирамиды.
17. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом а, вписан шар радиуса г. Определить полную поверхность конуса и его объем.
18. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол а. Определить объем пирамиды.
19. В прямой круговой усеченный конус вписан шар. Объем этого шара составляет половину объема конуса. Определить угол наклона образующей конуса к плоскости основания.
20. В конус вписан шар. Линия касания шара и боковой поверхности конуса
делит последнюю в отношении ~. Определить угол между образующей и основанием конуса.
21. В }сеченный конус вписан шар. Радиусы оснований конуса гх и г2. Определить угол наклона образующей конуса к основанию.
22. Вокруг шара описан прямой параллелепипед, объем которого в т раз больше объема шара. Определить углы в основании параллелепипеда.
23. Из вершины конуса, как из центра, описана сферическая поверхность, касающаяся основания конуса. Часть конуса, заключенная между вершиной
и этой поверхностью, составляет по объему — часть объема конуса.
Определить угол при вершине осевого сечения конуса.
24. Вокруг шара описана правильная четырехугольная пирамида, боковая грань которой составляет с плоскостью основания угол а. Определить отношение объемов частей пирамиды, на которые ее рассекает касательная к шару плоскость, проведенная параллельно основанию.
26. В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой боковая поверхность конуса касается шара, равен г. Радиус шара, проведенный в произвольную точку этой окружности, наклонен к ее плоскости под углом а. Найти объем конуса.
26. Вокруг шара, радиус которого равен г, описан конус (прямой, круговой) наименьшего объема. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
411
27. В конус, образующая которого составляет угол а с плоскостью основания, вписан полушар так, что больший круг полушара лежит на плоскости основания. Определить, в каком отношении объем конуса леїится сферической поверхностью.
28. Определить угол в осевом сечении прямого кругового конуса, если объем вписанного в него шара равен объему, содержащемуся между сферической поверхностью и вершиной конуса.
29. В конус вписана полусфера, большой круг которой лежит на основании конуса. Определить угол при вершине конуса, если полная поверхность конуса относится к боковой поверхности полусферы как 18:5.
30. Вокруг шара радиуса R описан усеченный конус, образующая которого составляет угол а с плоскостью большего основания. Определить объем и боковую поверхность усеченного конуса.
