Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
29. Высота конуса равна Я. Угол между осью конуса и его образующей равен а. Через середину высоты под углом ? к оси проведена прямая, пересекающая боковую поверхность конуса в двух точках. Определить ее отрезок, заключенный внутри конуса.
30. Определить в конусе угол между образующей и плоскостью основания, если площадь основания, поверхность вписанного шара и площадь боковой поверхности конуса составляют арифметическую прогрессию.
31. Через вершину О конуса проводится плоскость р, параллельная его основанию. Угол между осью конуса и его образующей равен а. Через середину высоты конуса проводится прямая, образующая острый угол (3 с этой высотой; отрезок этой прямой между плоскостью р и плоскостью основания конуса равен а. Определить отрезок проведенной прямой, заключенный внутри конуса.
32. В конус с радиусом основания г и углом а между образующей и плоскостью основания вписана прямая треугольная призма с равными ребрами так, что ее основание лежит в плоскости основания конуса. Определить объем призмы.
33. В конус, высота которого Н, вписана правильная треугольная пирамида, боковая грань которой составляет с плоскостью основания угол а. Определить боковую поверхность и объем пирамиды и конуса.
34. В конус, радиус основания которого г, а образующая наклонена к плоскости основания под углом а, вписана прямая треугольная призма, все ребра которой равны между собой, а основание лежит в плоскости основания конуса. Найти длину ребра призмы.
85. В прямой конус, образующие которого наклонены к плоскости основания под углом а, вписана правильная я-угольная пирамида. Определить отношение полной поверхности пирамиды к полной поверхности конуса.
36. В прямой круговой конус вписана треугольная пирамида, у которой плоские углы при вершине равны а, (3 и -р Определить объем этой пирамиды, если объем конуса равен v.
37. В конус, образующая которого / наклонена к плоскости основания под углом а, вписана правильная п-угольная призма, все ребра которой равны между сэбой. Найти полную поверхность призмы.
38. Два равных конуса расположены в пространстве так, что осью каждого из них является образующая другого. Углы при вершинах в осевых сечениях этих конусов равны а. Найти угол между двумя образующими, по которым пересекаются эти конусы.
39. В пространстве даны две точки: А и В (AB = 2а).
1°. Доказать, что плоскости, проходящие на равных расстояниях d(d < а) от точек А и B1 либо параллельны AB, либо проходят через середину отрезка AB. Обозначим через S1 семейство всех плоскостей, каждая из которых параллельна отрезку AB и проходит от точек А и В на расстоянии d, а через S2 — семейство всех плоскостей, которые проходят через середину J отрезка AB и находятся на расстоянии d от точек А и В. Каждая плоскость первого семейства касается некоторого кругового цилиндра C1, каждая плоскость второго семейства касается некоторого прямого кругового конуса C2.
2°. Пусть P — произвольная плоскость из семейства S1. Доказать, что существуют две плоскости Я и Я' из семейства S2, перпендикулярные плоскости Р. Существует ли другая плоскость P' из семейства .S1, также перпендикулярная плоскостям П и П;?
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
409
3°. Пусть P — какая-нибудь плоскость из семейства S1. Обозначим через M какую-нибудь точку, в которой пересекается эта плоскость Р, конус C2 и какая-нибудь плоскость из семейства S2. Обозначим через А', В' и f проекции точек A1 В, и J на плоскость P4 а через К и L — проекции точки M на AB и А'ВГ\ пусть а— угол прямой JM с плоскостью P и ? — половина угла осевого сечения конуса C2. Доказать, что
KL = d, J'L = ^1L, MK = dsla? .
sin a sin a
Доказать, что существует соотношение между JrL2 и LM2. 40. Сосуд состоит из боковой поверхности усеченного конуса, меньшее основание которого закрыто касающимся образующих сферическим сегментом. При этом, если продолжить этот сферический сегмент, то сфера коснется большего основания (черт. 78).
1°. Зная радиус R сферы и угол 2а между двумя противоположными образующими конуса, вычислить радиус АН меньшего основания усеченного конуса, его высоту HK и образующую AB. 2°. Показать, что, исходя из тождества
L & U 2)— cosa '
можно легко вычислить AB. 3°. В дальнейшем полагаем, что a = 30°. Сосуд наливают водой; уровень воды х (считая от дна). Вычислить поверхность 5 воды:
а) в случае х < PH; Черт 78
б) в случае X > PH.
4°. Начертить график функции s = s(x) при условии, что х изменяется от 0 до PK. Показать, что график состоит из двух различных кривых, имеющих, однако, в общей точке общую касательную.
П. 8. Сфера в комбинации с многогранниками, цилиндром и конусом
1. В конус вписан шар. Высота конуса h\ угол образующей с плоскостью основания а. Определить поверхность шара.
2. Определить отношение объема конуса к объему описанного вокруг него шара, если образующая наклонена к основанию под углом а.
3. Поверхность шара, вписанного в конус, равна площади основания конуса. Найти угол при вершине конуса.
