Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
5. Угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса равен 2а, a его высота раваа h. Определить радиус шара, вписанного в конус.
6. Образующая прямого кругового конуса составляет угол а с плоскостью основания. Объем "конуса равен v. Определить радиус основания и высоту этого конуса.
7. Определить полную поверхность конуса, если угол между его образующей и плоскостью основания равен a, a площадь осевого сечения равна s.
8. Полная поверхность конуса, образующие которого наклонены к плоскости основания под углом а, равна Р. Определить объем конуса.
9. Осевое сечение конуса представляет собой треугольник, площадь которого равна Q. Зная, что образующие конуса наклонены к плоскости основания под углом а, определить боковую поверхность и объем конуса.
10. В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно-перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол а и равна /. Определить объем этого конуса.
11. Полная поверхность прямого кругового конуса в п раз больше поверхности вписанного в него шара. Под каким углом образующие этого конуса наклонены к плоскости его основания?
12. Вокруг шара описан усеченный конус, боковая поверхность которого относится к поверхности шара, как т:п. Определить угол между образующей и большим основанием.
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
407
13. Поперечное сечение конуса, делящее его объем так, что часть этого объема, расположенная между сечением и вершиной конуса, составляет ~ всего
о.бъема этого конуса, проходит через центр описанного шара. Найти наклон образующей к основанию.
14. Образующая усеченного конуса наклонена к его основанию, имеющему радиус R, под углом а; радиус другого основания равен г. Определить боковую поверхность усеченного конуса.
16. Конус и цилиндр имеют общие основания, а вершина конуса находится в центре другого основания цилиндра. Чему равен угол между осью конуса и его образуьощей, если полная поверхность цилиндра относится к полной поверхности конуса, как 7 : 4?
16. В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно-перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол а и равна /. Определить полную поверхность этого усеченного конуса.
17. Сектор круга радиуса г с углом в п° свернут в виде конуса. Определить угол между образующей и основанием.
18. Площадь большего и меньшего оснований усеченного конуса я его боковая поверхность относятся, как т: гг: р. Определить угол между образующей и большим основанием.
19. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найти угол между осью конуса и его образующей, если полная поверхность цилиндра относится к площади основания конуса, как 3:1.
20. На общем основании построены два прямых конуса (один внутри другого) так, что их вершины находятся друг от друга на расстоянии а. Определить объем, ограниченный поверхностями конусов, если угол при вершине осевого сечения большего конуса равен a, a меньшего конуса равен ?.
21. Площадь осевого сечения конуса относится к площади полной поверхности этого конуса, как т:п. Определить угол между образующей и основанием конуса.
22. В усеченном конусе высота равна h\ образующая составляет с площадью нижнего основания угол а и перпендикулярна диагонали осевого сечения, проходящей через верхний конец этой образующей. Определить боковую поверхность усеченного конуса.
23. Внутри конуса, у которого угол при вершине осевого сечения равен а, находится другой конус, имеющий с первым общее основание; боковая поверхность внутреннего конуса есть среднее арифметическое площади основания и боковой поверхности внешнего конуса. Определить угол между высотой и образующей внутреннего конуса.
24. Перпендикуляр, опущенный из центра основания конуса на образующую, вращается вокруг оси конуса. Часть конуса, от вершины до поверхности
вращения перпендикуляра, составляет ~ часть объема конуса. Определить
угол между образующей конуса и его основанием. 26. В конус, радиус основания которого 2, вписана треугольная пирамида так, что вершина ее совпадает с вершиной конуса, а плоскость основания — с плоскостью основания конуса. Определить объем пирамиды, если в ее основании лежит прямоугольный треугольник с углом а и все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, равным а.
26. Прямая линия, касательная к боковой поверхности конуса, составляет с образующей, проходящей через точку касания, угол 6. Какой угол ср составляет эта прямая с плоскостью основания P конуса, если образующие его наклонены к плоскости P под углом а?
27. Через вершину конуса проведены две плоскости. Одна из них наклонена к плоскости основания конуса под углом а и пересекает это основание но
408
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
хорде, длина которот равна а, а другая наклонена к плоскости основания под углом ? и пересекает основание по хорде, длина которой равна Ь. Определить объем конуса.
28. Найти косинус угла при вершине в осевом сечении прямого кругового конуса, знап, что на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.
