Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
25. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб, сторона которого равна а и острый угол равен а. Плоскости, проходящие через вершину пирамиды, и диагонали основания наклонены к плоскости основания под углами ср и ф. Определить объем пирамиды, если ее высота пересекает сторону основания.
26. В правильной шестиугольной пирамиде с углом между боковыми ребрами, равным а, проведено сечение через наибольшую диагональ основания под углом р к нему. Найти отношение площадей сечения и основания.
27. В правильной четырехугольной пирамиде даны: апофема с и площадь P диагонального сечения. Определить угол между боковой гранью и основанием, а также сторону основания.
28. Основание пирамиды—равнобедренная трапеция, в которой а и b (а > Ь) — параллельные стороны, а неравные отрезки диагоналей образуют угол ср. Найти объем пирамиды, зная, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, а двугранные углы, прилежащие к параллельным сторонам основания, относятся, как 2:1.
29. Определить плоский угол 8 при вершине правильной я-угольной пирамиды, если боковые ребра ее наклонены к плоскости основания под углом а.
ЗЭ. В правильной /г-угольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом а. Под каким углом к плоскости основания наклонены боковые ребра пирамиды?
31. Плоский угол при вершине правильной «-угольной пирамиды равен а. Определить двугранный угол 6 между двумя смежными боковыми гранями.
32. В правильную я-угольную пирамиду вписан конус. Определить отношение полной поверхности пирамиды к полной поверхности конуса.
33. Основание пирамиды — правильный я-угольник, описанный вокруг большого круга шара радиуса R. Определить объем этой пирамиды, если боковые ребра ее касаются поверхности шара.
34. В правильную я-угольную пирамиду с ребром основания q и боковым ребром Ъ вписан шар. Найти его радиус.
35. Вычислить объем правильной пирамиды высоты /г, зная, что в основании ее лежит многоугольник, сумма внутренних углов которого равна nd, а отношение бокозой поверхности пирамиды к площади основания равно k.
30. Через вершину правильной /г-угольной пирамиды и через две вершины многоугольника, лежащего в основании, под углом а к основанию проведена плоскость, рассекающая основание на два многоугольника, имеющие
пирамиды, если общая сторона этих двух многоугольников равна Ь. 37. Основание пирамиды SAxA2 ... An — правильный п-угольник, сторона которого равна а. Высота пирамиды проектируется внутрь этого многоугольника вблизи вершины Ax. Плоские углы / SA1A2 и / SA2An при основании двух смежных боковых граней равны соответственно а и а их общее ребро равно Ь. Вычислить объем пирамиды.
1. К цилиндру проведена касательная прямая под углом а к плоскости его основания. Определить расстояние от центра нижнего основания до этой прямой, если его расстояние от точки касания равно dt а радиус цилиндра равен г.
соответственно г —f— 2 вершин и п—г вершин
Найти объем
П. 6. Цилиндр
2. В цилиндре высота h равна диаметру окружности оснозания. Точка верх-
406
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ней окружности соединена с точкой нижней окружности; соединяющая прямая образует угол а с плоскостью основания цилиндра. Определить кратчайшее расстояние между этой прямой и осью цилиндра.
3. Стороны равнобочной трапеции касаются круглого цилиндра, ось которого перпендикулярна параллельным сторонам трапеции. Найти угол, который образует ось цилиндра с плоскостью трапеции, если длины оснований трапеции равны а и Ь, а высота трапеции равна h.
4. Все вершины квадрата, сторона которого равна 1, лежат на поверхности круглого цилиндра, ось которого перпендикулярна стороне квадрата и образует с его плоскостью угол а. Найти радиус цилиндрической поверхности.
б. Рассмотрим цилиндр радиуса R с высотой Н. Плоскости, перпендикулярные его образующим и равноотстоящие друг от друга, делят цилиндр на т равных цилиндров. В каждую окружность оснований каждого цилиндра вписываем правильный д-угольник так, чтобы образующая цилиндра, проходящая через вершину любого многоугольника, делила бы пополам дугу, стягивающую сторону многоугольника, лежащего выше и ниже рассматриваемого. Вершины многоугольников соединяем с ближайшими к ним вершинами многоугольников, лежащих в ближайших параллельных сечениях. Получаем многогранник, все грани которого равны между собой и являются равнобедренными треугольниками, а вершины лежат на поверхности цилиндра. Требуется вычислить поверхность этого многогранника и найти ее предел при условии, что тип стремятся к оо (цилиндр Шварца).
П. 7. Конус
1. Полукруг свернут в конус. Найти угол в осевом сечении этого конуса.
2. Определить^ объем конуса, если известно, что его боковая поверхность, будучи развернута на плоскость, дает круговой сектор с радиусом / и центральным углом а.
3. Угол, величина которого равна а, свернут в конус. Определить угол в осевом сечении этого конуса.
4. Угол при вершине в осевом сечении конуса равен а. Определить центральный угол в развертке его боковой поверхности.
