Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
3. Определить объем правильной пятиугольной пирамиды, если боковое ребро равно а, а двугранный угол между смежными боковыми гранями равен а.
4. В правильной четырехугольной пирамиде через сторону основания, равную а, проведена секущая плоскость, делящая пополам двугранный угол при основании пирамиды, равный а. Определить площадь получившегося сечения.
5. Основание правильной четырехугольной пирамиды с плоским углом а при вершине вписано в основание полушара радиуса R, причем вершина S пирамиды находится вне полушара. Вычислить длину линии, по которой пересекаются поверхности этих тел.
6. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а; две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а большее боковое ребро ее наклонено к основанию под углом ?. В пирамиду вписан прямоугольный параллелепипед так, что четыре вершины его находятся на боковых ребрах пирамиды, а четыре другие вершины — на основании пирамиды. Определить объем параллелепипеда, зная, что диагональ его образует с плоскостью основания угол а.
7. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания относится к боковому ребру, как т : п. Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Определить наклон этой плоскости к основанию.
26*
404
Тригонометрия. Гл. XXX. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
8. В правильной /г-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Определить двугранный угол при основании этой пирамиды.
9. В правильной четырехугольной пирамиде высота относится к стороне основания, как т :п. Через диагональ основания проведена наклонная плоскость так, что полученное сечение равновелико диагональному сечению. Определить угол между проведенной плоскостью и основанием пирамиды.
10. В правильной четырехугольной пирамиде через сторону основания проведено сечение, перпендикулярное противоположной грани. Определить площадь сечения, если сторона основания равна а и боковая грань составляет с плоскостью основания угол а.
11. В правильную четырехугольную пирамиду, двугранный угол между смежными боковыми гранями которой равен а, вписан шар. Плоскость, проходящая через диагональ основания пирамиды и параллельная боковому ребру, рассекает шар на две части. Найти отношение объемов этих частей.
12. Правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой / наклонено к основанию под углом а, пересекается плоскостью, проходящей через центр описанного шара, вершину основания и параллельной диагонали основания. Определить площадь получившегося сечения.
13. В пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно к плоскости основания ABC) ребро ВС = а) грань BSC наклонена к основанию под углом а, и площадь ее равна Р. Определить объем этой пирамиды.
14. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно /, а двугранный угол между двумя смежными гранями равен ?.
15. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой грани равна Q. Эта боковая грань наклонена к плоскости основания под углом а. Определить объем пирамиды.
16. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна a, a плоский угол при вершине равен углу наклона бокового ребра к плоскости основания.
17. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а. Вершина пирамиды проектируется в одну из вершин этого квадрата. Две боковые грани пирамиды, таким образом, перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под одним и тем же углом а. Определить боковую поверхность пирамиды.
18. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна Q. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а две другие образуют с ним углы а и ?. Определить объем пирамиды.
19. Основанием пирамиды служит трапеция ABCD1 у которой AB = BC = = CD = a (ВС\\ AD)) острые углы трапеции равны а. Боковые ребра образуют с плоскостью основания угол ср. Определить объем пирамиды.
20. В правильной шестиугольной пирамиде отношение высоты к стороне основания равно k. Определить плоский угол а при вершине пирамиды и двугранный угол ? между смежными боковыми гранями пирамиды.
21. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углОхМ а; двугранные углы при основании равны ср. Определить радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
22. Пирамида имеет основанием ромб. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Определить угол между одной из двух других боковых граней и плоскостью основания, если боковая поверхность пирамиды в т раз больше площади основания.
23. Найти объем пирамиды, основанием которой служит ромб с острым углом а, если известно, что ее диагональное сечение, проходящее через вершины тупых углов основания, представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна S1 а вершина совпадает с вершиной
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К СТЕРЕОМЕТРИИ
405
пирамиды. Угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания также равен а.
24. Основание пирамиды — ромб со стороной а и острым углом а; из боковых граней две перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углом ср. Определить боковую поверхность этой пирамиды.