Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
У = — х + У*х* + $9 (1)
где а и ?— постоянные, причем а>1, ? > 0.
1°. Сколько существует положительных или нулевых значений для х% удовлетворяющих соотношению (1), если для у задано какое-нибудь положительное значение? 2°. Будем рассматривать функцию (1) лишь для положительных значе- * ний х. Доказать, что при этом у > 0 и что у принимает минимальное значение, равное
/ВЕЗГ,
при каком значении х функция у принимает это минимальное значение?
И. В плоскости P задан правильный шестиугольник, последовательные вершины которого A1 B1 C1 D1 E1 F; длина стороны равна а. Через центр О этого многоугольника проводится полупрямая OZ1 перпендикулярная его плоскости; затем через полупрямые, проходящие не через последовательные вершины A1 C1 E шестиугольника, проводятся полупрямые, также перпендикулярные плоскости шестиугольника и идущие в том же направлении, что и OZ. На этих полупрямых откладываются отрезки AA', CC1 ЕЕ' одной и той же длины I. Пусть / — точка полупрямой OZ такая, что 01 = l-\-xt где л:—число, заключенное между нулем и /, т. е. О < х < /. Три плоскости: IA'C', ICE', IE'A't пересекают полупрямые, перпендикулярные плоскости (P)1 проходящие через три другие вершины B1 D1 F шестиугольника и идущие в том же направлении, что и OZ в точках В'% D'', F'. 1°. Доказать, что точки В\ D'', F' расположены с той. же стороы плоскости (P)1 что и точки I1 A', C1 E'. Найти длину отрезков BB', DU1 FF'.
Точку / соединяют с точками A't C1 E' и строят шесть отрезков: А'В', В'С9 CD', D'E', E'F', F'А'. Что представляет собою четырехугольник ІА'В'С?
Данный шестиугольник ABCDEF1 шесть прямоугольных трапеций: ABB'A1 BCCB', CDUC1 DEE'D', EFF'E', FAA'F', и три четырехугольника: ІА'В'С, IC'D'E', lE'F'A', являются десятью гранями выпуклого многогранника, который мы обозначим через (А). Построить ортогональные проекции (А), принимая последовательно в качестве плоскостей проекции: плоскость (P) шестиугольника, затем плоскость ВВ'ЕЕ', затем плоскость, проходящую через середину отрезка BC1 перпендикулярно к нему (на проекциях начертить проекцию ребер и вершин). 2°. Обозначим через ср угол BB'А', а через б — угол AlC'. Вычислить в функцчи а, / и х: длину каждой диагонали четырехугольника ІА'В'С; косинусы углов ср и б; объем v многогранника (А), его полную поверхность s и сумму L длин всех его ребер.
20 П. С. Моденов
306
Стереометрия. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
3°. Предполагая, что а и / фиксированы и что />—J^* показать, что
ZyZ
полная поверхность s и сумма L9 рассматриваемые как функции от X1 обладают минимумами для одного и того же значения X1 заключенного между 0 и /; вычислить значения этих минимумов, которые мы обозначим S0 и L0. Доказать, что это те значения X1 при которых углы ср и 6 равны между собой.
Пусть (A0) — многогранник, соответствующий этому частному значению х\ ребра (A0), выходящие, с одной стороны, из каждой вершины /, В\ D'9 F' и, с другой стороны, — из каждой вершины А\ C1 E't определяют соответственно четыре трехгранных угла и три многогранных (с четырьмя гранями). Сравнить грани этих трехгранных и многогранных углов; каковы косинусы углов граней? Вычислить двугранные углы этих трехгранных и четырехгранных углов. III. Рассмотрим снова многогранник (А), определенный в начале раздела II, зависящий от трех параметров: а9 /, х. Будем говорить, что сфера вписана в многогранник (А), если она расположена внутри (А) и касается всех десяти его граней. В третьей части этой задачи предлагается изучить многогранники типа (А), имеющие вписанную сферу. Решения, геометрические и алгебраические, предлагаемых ниже вопросов 1° и 2° могут быть даны в произвольном порядке; для одного и другого решения полезно использовать сечение фигуры плоскостью ВВ'ЕЕ' и заметить, что если сфера вписана в многогранник (А), то ее центр лежит непременно на полу-
прямой OZ, а радиус равен —^—.
1°. Предполагая заданными а и I1 дать геометрическое построение многогранника (А), обладающего вписанной сферой; исследовать.
2°. Предполагая заданными а н I1 определить х так, чтобы (А) обладал вписанной сферой; исследовать (разумеется, нужно сравнить результаты исследований).
3°. Доказать, что для всякого многогранника (А), обладающего вписанной сферой, отношение его объема v к полной поверхности s равно одной трети радиуса вписанной сферы. В конце раздела II был определен многогранник (A0), зависящий только от а и /; доказать, что можно определить / в функции а так, что и он будет обладать вписанной сферой. Подсчитать для этого многогранника (A0) отношение его полной поверхности к поверхности вписанной в него - сферы и отношение его объема к объему этой сферы. Доказать,
что ошибка, которую мы допустили, принимая это отношение рав-3
ным -jjt не превосходит 0,003.
Глава XXVl
ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
Будем называть линией (С) всякую линию, которая может быть получена перспективой окружности. Свойства линий (С) требуется изучить, не опираясь на то, что линии (С) — конические сечения; не следует использовать теоремы о конических сечениях, вводить мнимых точек, а также не следует опираться на инволюцию. Применение же бесконечно удаленных точек и прямых допускается. Напомним определение перспективы: пусть даны плоскость (P) на конечном расстоянии и точка S, которая может быть и бесконечно удаленной; перспективой называется преобразование, которое всякой точке M1 пространства ставит в соответствие точку A4 пересечения прямой 5M1 с плоскостью (P).
