Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 135

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 381 >> Следующая


2°. Полагая SB'= х, вычислить

у = AB'2 + В'С'2 + CD2.

3°. Изучить изменение у как функции от х и представить эту зависимость графически при условии, что В' описывает отрезок SB.

4°. Определить X при условии, что у = I2, где / — данное число. Исследовать существование и число решений.

5°. Дать геометрическое решение предыдущего вопроса и получить на

этом пути результаты предыдущего исследования.

23. Диагональ BD ромба ABCD параллельна плоскости H и имеет длину 2#; его другая диагональ AC = Aa образует с плоскостью H угол 60°; при этом ромб ABCD расположен по одну сторону от плоскости Н. Расстояние от точки А — ближайшей вершины ромба к плоскости H — до этой плоскости равно а. Пусть А', В', С, D' ортогональные проекции точек А, В, С, D на плоскость Н. Многогранник ABCDA'B'C'D' обозначим через (T).

1°. Доказать, что А'В'СD' — квадрат и что (T) имеет плоскость симметрии. Найти угол между плоскостями, проходящими через DB и AC и перпендикулярными плоскости Н.

2°. Вычислить длины ребер, полную поверхность и объем (T).

3°. Пересечем (T) плоскостью, которая пересекает все его ребра AA', BB', CC', DD'. Доказать, что это сечение — параллелограмм. При каком условии это сечение будет прямоугольником, ромбом, квадратом?

4°. Вычислить площадь' s прямоугольника, полученного в результате сечения (T) плоскостью, параллельной BD и перпендикулярной Н, в функции расстояния х секущей плоскости от вертикального ребра AA'. Построить график функции s = f (х).

24. В плоскости задан правильный шестиугольник ABCDEF с центром О и стороной а. На прямой, перпендикулярной его плоскости и проходящей

3

через точку О, берется точка .S такая, что OS = -^ а. Рассмотрим пира-

304

Стереометрия. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

ышу SABCDEF. Проведем через сторону AB основания произвольную плоскость, пересекающую пирамиду по шестиугольнику ABMNPQA (черт.76).

что это сечение обладает плоскостью симметрии, что диагональ MQ и сторона NP остаются параллельными фиксированной прямой и что прямые BM1 MN1 PQA и QA проходят через фиксированные точки. 2°. Найти геометрическое место точек пересечения прямых MN и PQ; BM и AQ; BM и PQ; AQ и MN; AQ и PN; BM и PN. 3°. Пусть точки PnN являются серединами ребер SF и SC Доказать, что QnM отстоят тогда от S

на ~ длины соответствующих ребер. Вычислить

в этом случае площадь сечения ABMNPQ и объем пирамиды SABMNPQ. 26. Четыре отрезка: AB1 BC1 CD и DA1 которыми соединяются четыре точки: A1. B1 С, D9 не расположенные в одной плоскости, образуют пространственный четырехугольник.

1°. Сколько имеется различных четырехугольников, имеющих заданные вершины A1 B1 C1 D1 но взятые в разном порядке? Какова общая часть двух таких различных четырехугольников? 2°. Изучить для каждого из них четырехугольник MNPQ1 имеющий вершинами середины сторон. Какова общая часть двух таких четырехугольников?

3°. Изучить фигуру, образованную отрезками, соединяющими середины противоположных сторон и середины диагоналей пространственного четырехугольника ABCD. 4°. Пусть вершины A1 B1 С фиксированы, a D описывает прямую (А). Каково геометрическое место центров параллелограммов MNPQ} 26. Дана прямоугольная трапеция ABCD (углы AnD прямые), причем ^AB = AD = U1 DC = 2а* На перпендикуляре в точке D к плоскости этой трапеции откладывают длину DS = а.

- 1°. Доказать, не применяя теорему Пифагора, что четыре боковые грани пирамиды SABCD—прямоугольные треугольники.

2°. Пусть E — середина DC1 a I— середина ВС; вычислить расстояние DI. Определит^ положение центра и радиус сферы, проходящей через точки S, B1 E1 С.

3°. Пусть M — точка отрезка SA1 определяемая расстоянием SM = X. Плоскость CDM пересекает ребро SB в точке Р. К какому типу принадлежит четырехугольник DMPCl Выразить в функции а и х объем пирамиды SDMPC и определить х так, чтобы этот объем

был равен ~24~.

27*. Рассмотрим геликоидальное преобразование (H)1 полученное в результате поступательного перемещения к в направлении оси (А) и поворота на угол

Y вокруг той же оси (А).

1°. Построить образ M' точки M в преобразовании (H). Построить точки M и М\ зная середину / отрезка MM'.

2°. Назовем прямыми (D) прямые пространства, проходящие через точку Ж и ее образ M' в преобразовании (H). Обозначим через d кратчайшее расстояние между (D) и (А) и через а острый угол между (D) и (А). Найти соотношение между a, d и h. Показать, что прямые (D)1 проходящие через фиксированную точку A1 принадлежат круговому конусу, и определить сечения этого конуса плоскостью,

Стереометрия. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

305

перпендикулярной (А). Показать, что всякая прямая (D) пересекает свой образ.

3°. Пусть точка M зачерчивает плоскость (P); найти геометрическое место середин / отрезков MM' и геометрическое место точек M плоскости (P), образы Мг которых также лежат в плоскости (P) Найти огибающую прямых (D) плоскости (P). .

28**. Предметом этой задачи будет изучение некоторых свойств многогранника, построение которого дается во второй ее части; алгебраический вопрос первой части позволяет решить ряд вопросов, относящихся к дальнейшему. I. Рассмотрим функцию
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed