Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Полагая SB'= х, вычислить
у = AB'2 + В'С'2 + CD2.
3°. Изучить изменение у как функции от х и представить эту зависимость графически при условии, что В' описывает отрезок SB.
4°. Определить X при условии, что у = I2, где / — данное число. Исследовать существование и число решений.
5°. Дать геометрическое решение предыдущего вопроса и получить на
этом пути результаты предыдущего исследования.
23. Диагональ BD ромба ABCD параллельна плоскости H и имеет длину 2#; его другая диагональ AC = Aa образует с плоскостью H угол 60°; при этом ромб ABCD расположен по одну сторону от плоскости Н. Расстояние от точки А — ближайшей вершины ромба к плоскости H — до этой плоскости равно а. Пусть А', В', С, D' ортогональные проекции точек А, В, С, D на плоскость Н. Многогранник ABCDA'B'C'D' обозначим через (T).
1°. Доказать, что А'В'СD' — квадрат и что (T) имеет плоскость симметрии. Найти угол между плоскостями, проходящими через DB и AC и перпендикулярными плоскости Н.
2°. Вычислить длины ребер, полную поверхность и объем (T).
3°. Пересечем (T) плоскостью, которая пересекает все его ребра AA', BB', CC', DD'. Доказать, что это сечение — параллелограмм. При каком условии это сечение будет прямоугольником, ромбом, квадратом?
4°. Вычислить площадь' s прямоугольника, полученного в результате сечения (T) плоскостью, параллельной BD и перпендикулярной Н, в функции расстояния х секущей плоскости от вертикального ребра AA'. Построить график функции s = f (х).
24. В плоскости задан правильный шестиугольник ABCDEF с центром О и стороной а. На прямой, перпендикулярной его плоскости и проходящей
3
через точку О, берется точка .S такая, что OS = -^ а. Рассмотрим пира-
304
Стереометрия. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
ышу SABCDEF. Проведем через сторону AB основания произвольную плоскость, пересекающую пирамиду по шестиугольнику ABMNPQA (черт.76).
что это сечение обладает плоскостью симметрии, что диагональ MQ и сторона NP остаются параллельными фиксированной прямой и что прямые BM1 MN1 PQA и QA проходят через фиксированные точки. 2°. Найти геометрическое место точек пересечения прямых MN и PQ; BM и AQ; BM и PQ; AQ и MN; AQ и PN; BM и PN. 3°. Пусть точки PnN являются серединами ребер SF и SC Доказать, что QnM отстоят тогда от S
на ~ длины соответствующих ребер. Вычислить
в этом случае площадь сечения ABMNPQ и объем пирамиды SABMNPQ. 26. Четыре отрезка: AB1 BC1 CD и DA1 которыми соединяются четыре точки: A1. B1 С, D9 не расположенные в одной плоскости, образуют пространственный четырехугольник.
1°. Сколько имеется различных четырехугольников, имеющих заданные вершины A1 B1 C1 D1 но взятые в разном порядке? Какова общая часть двух таких различных четырехугольников? 2°. Изучить для каждого из них четырехугольник MNPQ1 имеющий вершинами середины сторон. Какова общая часть двух таких четырехугольников?
3°. Изучить фигуру, образованную отрезками, соединяющими середины противоположных сторон и середины диагоналей пространственного четырехугольника ABCD. 4°. Пусть вершины A1 B1 С фиксированы, a D описывает прямую (А). Каково геометрическое место центров параллелограммов MNPQ} 26. Дана прямоугольная трапеция ABCD (углы AnD прямые), причем ^AB = AD = U1 DC = 2а* На перпендикуляре в точке D к плоскости этой трапеции откладывают длину DS = а.
- 1°. Доказать, не применяя теорему Пифагора, что четыре боковые грани пирамиды SABCD—прямоугольные треугольники.
2°. Пусть E — середина DC1 a I— середина ВС; вычислить расстояние DI. Определит^ положение центра и радиус сферы, проходящей через точки S, B1 E1 С.
3°. Пусть M — точка отрезка SA1 определяемая расстоянием SM = X. Плоскость CDM пересекает ребро SB в точке Р. К какому типу принадлежит четырехугольник DMPCl Выразить в функции а и х объем пирамиды SDMPC и определить х так, чтобы этот объем
был равен ~24~.
27*. Рассмотрим геликоидальное преобразование (H)1 полученное в результате поступательного перемещения к в направлении оси (А) и поворота на угол
Y вокруг той же оси (А).
1°. Построить образ M' точки M в преобразовании (H). Построить точки M и М\ зная середину / отрезка MM'.
2°. Назовем прямыми (D) прямые пространства, проходящие через точку Ж и ее образ M' в преобразовании (H). Обозначим через d кратчайшее расстояние между (D) и (А) и через а острый угол между (D) и (А). Найти соотношение между a, d и h. Показать, что прямые (D)1 проходящие через фиксированную точку A1 принадлежат круговому конусу, и определить сечения этого конуса плоскостью,
Стереометрия. Гл. XXV. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
305
перпендикулярной (А). Показать, что всякая прямая (D) пересекает свой образ.
3°. Пусть точка M зачерчивает плоскость (P); найти геометрическое место середин / отрезков MM' и геометрическое место точек M плоскости (P), образы Мг которых также лежат в плоскости (P) Найти огибающую прямых (D) плоскости (P). .
28**. Предметом этой задачи будет изучение некоторых свойств многогранника, построение которого дается во второй ее части; алгебраический вопрос первой части позволяет решить ряд вопросов, относящихся к дальнейшему. I. Рассмотрим функцию